Axiomensystem
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Ein Axiomensystem ist ein Begriffssystem, dessen Begriffe durch Definition aus den Grundbegriffen, die in bestimmten ausgewählten Axiomen enthalten sind, gebildet worden sind oder gebildet werden können. Aufgrund des definitorischen Aufbaus eines Axiomensystems gelten in ihm bestimmte Aussagen über Ableitungsregeln. Definitionsgemäß lassen sich alle gültigen Aussagen auf die Grundaussagen der ausgewählten Axiome zurückführen. Die strenge, formale Ableitung (logische Schlussfolgerung) von Aussagen aus einem Axiomensystem ist ein Beweis.
Damit ein Axiomensystem gültig ist, muss es bestimmten Kriterien entsprechen; ein zentrales Kriterium ist die Widerspruchsfreiheit.
Innerhalb eines Axiomensystems lassen sich Aussagen in drei Arten klassifizieren:
- wahre Aussage: Die Aussage ist auf die Axiome zurückführbar.
- falsche Aussage: Die Aussage ist nicht auf die Axiome zurückführbar.
- unentscheidbare Aussage: Weder die Aussage noch ihre Negation sind auf die Axiome zurückführbar.
Beispiele für Axiomensysteme:
- euklidische Geometrie
- Huntingtonsches Axiomensystem
- Peano-Dedekindsches Axiomensystem der Arithmetik
- Wahrscheinlichkeitstheorie
- Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre
Siehe auch: Axiom, Widerspruchsfreiheit, Formales System
