Axiom
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Ein Axiom ist eine grundlegende Aussage, die
- Bestandteil eines formalisierten Systems von Sätzen ist,
- ohne Beweis angenommen wird und
- aus der zusammen mit anderen Axiomen alle Sätze (Theoreme) des Systems logisch abgeleitet werden.
Im Gegensatz zu Theoremen werden Axiome weder deduktiv abgeleitet noch durch formale Beweisgänge belegt - Axiome werden als in sich einsichtige und unbestreitbare Grundsätze angenommen.
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[Bearbeiten] Diskussion
Ein Axiom ist keine vollständige Theorie. Es handelt sich vielmehr um eine bedingende/konditionale Voraussetzung in Form von geistigem Gedankengut für die vollständige Theorie. Es kann der Fall auftreten, dass mehrere Axiome eine Theorie ausmachen. Notwendige Bedingung ist, dass das Axiom auf einem logischen Fundament basiert.
Ausnahmen:
- der Logizismus (u. a. von Gottlob Frege vertreten), der zumindest die elementare Arithmetik rein logisch zu begründen suchte.
- die Protokollsatzlehre, vertreten speziell vom logischen Positivismus. Demnach können Sätze der empirischen Wissenschaften auch logisch auf Wahrnehmungserlebnisse zurückgeführt werden, deren Evidenz unmittelbar klar ist. Insbesondere Popper kritisiert diese Position aufgrund der in den wissenschaftlichen Sätzen auftretenden Universalien.
Der Versuch, mathematische Sachverhalte auf Axiome zurückzuführen, wird als Axiomatisierung bezeichnet.
Auch wissenschaftliche Theorien, insbesondere die Physik, beruhen auf Axiomen. Aus diesen werden Theorien geschlussfolgert, die im Experiment verifiziert werden. Stehen Aussagen der Theorie im Widerspruch zur experimentellen Beobachtung, werden die Axiome angepasst. Beispielsweise liefern die Newtonsche Axiome nur für „langsame“ und „große“ Systeme gute Vorhersagen und sind durch die Axiome der Speziellen Relativitätstheorie und der Quantenmechanik abgelöst bzw. ergänzt worden. Trotzdem verwendet man die Newtonschen Axiome weiter für solche Systeme, da die Folgerungen einfacher sind und für die meisten Anwendungen die Ergebnisse hinreichend genau sind.
[Bearbeiten] Beispiele
- Newtonsche Axiome
- Die Körperaxiome in Verbindung mit den Anordnungsaxiomen und dem Vollständigkeitsaxiom definieren die reellen Zahlen.
- Parallelenaxiom: "Zu jeder Geraden und jedem Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt, gibt es genau eine zu der Geraden parallele Gerade durch diesen Punkt." Dieses Axiom der euklidischen Geometrie war immer als weniger klar und einleuchtend erschienen als die anderen und es gab viele Versuche, es aus den anderen abzuleiten. Schließlich wurden um die Wende zum 19. Jahrhundert nichteuklidische Geometrien konzipiert, die bewiesen, dass es logisch unabhängig ist.
- "Zu jedem Prädikat P gibt es die Menge aller Dinge, die dieses Prädikat erfüllen." Dies ist das ursprüngliche Komprehensionsaxiom der Mengenlehre Georg Cantors, das so klar und einfach, so selbstverständlich ist, dass es einen großen Schock bedeutete, als sich herausstellte, dass es nicht widerspruchsfrei zu den anderen Axiomen hinzugefügt werden konnte.
- "Jede natürliche Zahl n hat genau einen Nachfolger n+1." ist ein Axiom der Arithmetik.
- "Der Raum in einem Inertialsystem ist homogen", d. h. es darf keine Rolle spielen, an welcher willkürlich gewählten Stelle im Raum ein Vorgang stattfindet, solange nur alle anderen Rahmenbedingungen gleich sind. In der klassischen Physik folgt direkt aus diesem Axiom die Erhaltung des Impulses.
- "Wahr ist Falsch." Aus einer Theorie, die ein solches Axiom enthält, lassen sich aber beliebige Schlussfolgerungen ziehen.
[Bearbeiten] Weblinks
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Wiktionary: Axiom – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme und Übersetzungen |
[Bearbeiten] Literatur
[Bearbeiten] Artikel in fachbezogenen Enzyklopädien und Wörterbüchern
- Axiom, in: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie, Bd.1, B.I.-Wissenschaftsverlag 1980
- Logical Terms, Glossary of, in: Paul Edwards (Ed.): The Encyclopedia of Philosophy, Vol. 5, Collier Macmillan 1972
[Bearbeiten] Monographien
- Evandro Agazzi: Introduzione ai problemi dell'assiomatica, Milano 1961
- Robert Blanché: Axiomatics, London: Routledge 1962
- Euklid: Die Elemente. Reprint, Darmstadt 1962
- David Hilbert u.a.: Grundlagen der Geometrie, Teubner 2002, ISBN: 351900237X
- Arpad Szabo: Anfänge der griechischen Mathematik, Oldenbourg 1969, ISBN: 3486472011
