C*-Algebra

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In der Funktionalanalysis sind C*-Algebren eine Abstraktion der beschränkten linearen Operatoren auf einem Hilbertraum.

Zunächst trennte man den abstrakten Begriff und die konkreten Realisierungen von Norm-abgeschlossenen *-Unteralgebren und nannte sie B*-Algebren bzw. C*-Algebren. Das C sollte auf die Abgeschlossenheit (closed) hinweisen. Es stellte sich jedoch heraus, dass die Trennung der beiden Begriffe nicht notwendig war, und man nutzte nur noch den Begriff C*-Algebra.

Heute wird die Theorie der C*-Algebren auch als nichtkommutative Topologie angesehen.

[Bearbeiten] Definition und Eigenschaften

Eine C*-Algebra A ist eine involutive Banachalgebra, die zusätzlich das C*-Axiom erfüllt:

.

Mit "involutiv" ist die Existenz einer Involution gemeint, d.h. einer Abbildung

mit den folgenden Eigenschaften:

• (a + b) ^* = a ^* + b ^* und (semilinear oder konjugiert linear)
• (ab) ^* = b ^* a ^* (multiplikativ)
• (a ^* ) ^* = a (involutiv)
• (isometrisch) für und .

Sind A und B C*-Algebren, dann heißt eine Abbildung *-Homomorphismus, falls sie linear, multiplikativ und mit der Involution verträglich ist. Es wird nicht gefordert, dass φ stetig sein muss.

Jeder *-Homomorphismus ist kontrahierend, also insbesondere stetig. Kontrahierend bedeutet, dass für beliebiges gilt.

[Bearbeiten] Beispiele

• Das motivierende Beispiel für den Begriff der C*-Algebren ist die Algebra L(H) der linearen Operatoren auf einem Hilbertraum H mit der Bildung des adjungierten Operators als Involution.

• Auch jede *-Unteralgebra von L(H), die in der Normtopologie abgeschlossen ist, ist eine C*-Algebra.

Man kann sogar zeigen, dass jede C*-Algebra isometrisch *-isomorph zu einer *-Unteralgebra von L(H) für einen geeigneten Hilbertraum H ist (Satz von Gelfand und Naimark).

• X sei ein lokalkompakter Hausdorffraum. Dann bilden die komplexwertigen, stetigen und im unendlich verschwindenden Funktionen C₀(X) eine kommutative C*-Algebra, wobei die Involution durch die Konjugation gegeben wird.

Ein ebenfalls nach Gelfand und Naimark benannter Satz besagt, dass jede kommutative C*-Algebra diese Form hat.

• , Matrizen

• K(H) kompakte Operatoren auf einem Hilbertraum

• Calkin Algebra

• Direkte Summe von C*-Algebren

• Direktes Produkt von C*-Algebren

• induktiver Limes von C*-Algebren

• Tensorprodukt von C*-Algebren

• UHF Algebren

• AF Algebren

• universelle C*-Algebren

• Rotationsalgebra

• Cuntzalgebra

• Cuntz-Krieger-Algebra

• Toeplitz-Algebra

• Gruppen C*-Algebra

• Von-Neumann-Algebren sind stark abgeschlossene *-Unteralgebren von L(H) (H Hilbertraum). Da die starke Operatortopologie schwächer ist als die Normtopologie, sind die von-Neumann-Algebren auch in der Normtopologie abgeschlossen. Also sind sie insbesondere C*-Algebren.