Greensche Formeln

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Du hast neue Nachrichten auf deiner Diskussionsseite.

In der Mathematik, speziell der Vektoranalysis, sind die beiden greenschen Formeln (manchmal auch greensche Identitäten, greensche Sätze oder Theoreme) spezielle Anwendungen des gaußschen Satzes. Sie sind benannt nach dem Mathematiker George Green. Anwendung finden sie unter anderem in der Elektrostatik bei der Berechnung von Potentialen.

Im folgenden sind $φ$ und $ψ$ zwei Funktionen auf dem beschränkten Sterngebiet $U \subset \mathbb{R}^n$ , wobei $φ$ einfach und $ψ$ zweifach stetig differenzierbar sei. $\nabla$ ist der Nabla-Operator.

[Bearbeiten] Erste Green'sche Identität

$\int\limits_{U} (\phi\nabla ^2\psi + \nabla \phi \cdot \nabla \psi)\, \mathrm{d}U = \int\limits_{\partial U} \phi \frac{\partial\psi}{\partial n} \mathrm{d}S$ ,

wobei $\frac{\partial\psi}{\partial n} = \nabla \psi\cdot\vec{n}$ die Normalkomponente des Gradienten auf dem Flächenelement $d S$ bezeichnet.

Diese Identität lässt sich wie folgt beweisen:

$\int\limits_{\partial U} \phi\nabla\psi\cdot\vec{n}\mathrm{d}S = \int\limits_{U} \nabla(\phi\nabla\psi) dU = \int\limits_{U} (\nabla\phi\cdot\nabla\psi+\phi\nabla^2\psi)dU$ ,

wobei im ersten Schritt der gaußsche Satz benutzt wurde.

[Bearbeiten] Zweite Green'sche Identität

$\int\limits_{U} (\phi\nabla ^2\psi - \psi\nabla ^2\phi)\, \mathrm{d}U = \int\limits_{\partial U} (\phi \frac{\partial\psi}{\partial n} - \psi \frac{\partial\phi}{\partial n}) \mathrm{d}S$

Die Zweite Green'sche Identität folgt aus der ersten Green'schen Identität:

$\int\limits_{U} (\phi\nabla ^2\psi + \nabla \phi \cdot \nabla \psi)\, \mathrm{d}U = \int\limits_{\partial U} \phi \frac{\partial\psi}{\partial n} \mathrm{d}S$ ,

$\int\limits_{U} (\psi\nabla ^2\phi + \nabla \psi \cdot \nabla \phi)\, \mathrm{d}U = \int\limits_{\partial U} \psi \frac{\partial\phi}{\partial n} \mathrm{d}S$

Subtrahiert man nun die zweite Gleichung von der ersten Gleichung, so ergibt sich die zweite Green'sche Identität.

[Bearbeiten] Anwendungen

[Bearbeiten] Elektrostatik

Unter Anwendung der oben gezeigten Greenschen Identitäten lässt sich das elektrostatische Potenzial herleiten:

Wir setzen für $\psi(\vec{r}') = \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$ , während $\phi(\vec{r}')$ das Potenzial darstellt. Es gilt dann:

$\Delta' \psi(\vec{r}') = \Delta'\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} = -4\pi \delta(\vec{r} - \vec{r}')$ , wobei $\Delta = \nabla^2$ der Laplace-Operator ist, der Strich anzeigt, dass dieser Operator auf die gestrichene Variable wirkt und $δ$ die Delta-Funktion ist.
$\Delta' \phi(\vec{r}') = -4\pi \rho(\vec{r}')$ mit der Ladungsverteilung $ρ$ am Ort $\vec{r}'$ .

Setzen wir beides in die zweite Greensche Identität ein, erhalten wir auf der linken Seite:

$\int\limits_{V} (\phi(\vec{r}') (-4\pi \delta(\vec{r} - \vec{r}')) - \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} (-4\pi \rho(\vec{r}')))\, \mathrm{d}V' = -4\pi \int\limits_V \phi(\vec{r}') \delta(\vec{r} - \vec{r}') \, \mathrm{d}V' + 4\pi \int\limits_V \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \, \mathrm{d}V'$ .

Die rechte Seite der Identität ist:

$\int\limits_F \left(\phi(\vec{r}') \frac{\partial}{\partial n'}\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} - \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \frac{\partial}{\partial n'}\phi(\vec{r}') \right) \mathrm{d}F'$ .

Als Identität geschrieben:

$-4\pi \int\limits_V \phi(\vec{r}') \delta(\vec{r} - \vec{r}') \, \mathrm{d}V' + 4\pi \int\limits_V \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \, \mathrm{d}V' = \int\limits_F \left(\phi(\vec{r}') \frac{\partial}{\partial n'}\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} - \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \frac{\partial}{\partial n'}\phi(\vec{r}') \right) \mathrm{d}F'$ .

Innerhalb des Volumens gilt an der Stelle $\vec{r}$ $-4\pi \int\limits_V \phi(\vec{r}') \delta(\vec{r} - \vec{r}') \mathrm{d}V' = -4\pi \phi(\vec{r})$ (wegen der $δ$ -Funktion), d.h. wir können damit obige Zeile nach dem Potenzial auflösen und erhalten:

$\phi(\vec{r}) = \int\limits_V \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \, \mathrm{d}V' - \frac{1}{4\pi} \int\limits_F \left(\phi(\vec{r}') \frac{\partial}{\partial n'}\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} - \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \frac{\partial}{\partial n'}\phi(\vec{r}') \right) \mathrm{d}F'$ .

[Bearbeiten] Siehe Auch

[Bearbeiten] Literatur

z.B. Jackson: Elektrodynamik
Walter Greiner: Theoretische Physik Band 3 – Klassische Elektrodynamik. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, Thun ISBN 3-8171-1184-3

Von „http://de.wikipedia.org../../../g/r/e/Greensche_Formeln_1bf6.html“

Kategorien: Analysis | Erdmessung | Geophysik | Elektrostatik | Potentialtheorie

Greensche Formeln

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Erste Green'sche Identität

[Bearbeiten] Zweite Green'sche Identität

[Bearbeiten] Anwendungen

[Bearbeiten] Elektrostatik

[Bearbeiten] Siehe Auch

[Bearbeiten] Literatur

Views

Navigation

Mitmachen

Suche

Andere Sprachen