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Harmonische Reihe - Wikipedia

Harmonische Reihe

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Die Harmonische Reihe ist eine spezielle mathematische Reihe. Die harmonische Reihe ist die Folge, deren Glieder die Summen der ersten n Glieder (die Partialsummen) der harmonischen Folge sind.

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Berechnung

Es seien ak = 1 / k die Glieder einer harmonischen Folge. Das n-te Glied sn der harmonischen Reihe erhält man durch die Bildung der Partialsummen:

s_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots +\frac{1}{n}


[Bearbeiten] Werte der ersten Partialsummen

\begin{matrix}s_1 &=& 1 \\\\ s_2 &=& \frac{3}{2} &=& 1{,}5 \\\\ s_3 &=& \frac{11}{6} &\approx& 1{,}833 \\\\ s_4 &=& \frac{25}{12} &\approx& 2{,}083\end{matrix} \begin{matrix}s_5 &=& \frac{137}{60} &\approx& 2{,}283 \\\\ s_6 &=& \frac{49}{20} &=& 2{,}45 \\ \\s_7 &=& \frac{363}{140} &\approx& 2{,}593 \\\\ s_8 &=& \frac{761}{280} &\approx& 2{,}718\end{matrix}

[Bearbeiten] Näherungsformel

Für endliche n gilt die Näherung:

S(n)=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} \approx \ln(n)+ \gamma.

ln(n) ist hierbei der natürliche Logarithmus. Die Konstante γ (gamma) heißt Euler-Mascheroni-Konstante und beträgt ca. 0,5772156649.

Vergleich des gerechneten Werts mit dem der Näherungsformel für verschiedene n

n Summe Näherung Genauigkeit in %
5 2.28 2.19 95.77%
10 2.93 2.88 98.32%
20 3.60 3.57 99.31%
50 4.50 4.49 99.78%
100 5.19 5.18 99.90%
500 6.79 6.79 99.99%
1000 7.49 7.48 99.99%
10000 9.79 9.79 100.00%

[Bearbeiten] Eigenschaften

  • Da die harmonische Folge nur positive Elemente enthält, sind die Werte der harmonischen Reihe streng monoton steigend.
  • Obwohl die Elemente der harmonische Folge schnell kleiner werden und sich an Null annähern, ist die aus ihnen gebildete Reihe divergent. Der Wert der Reihe überschreitet beliebige Werte, wenn nur n groß genug gewählt wird.
Dies ist einsehbar, durch Vergleich mit einer Reihe, die in jedem Glied kleiner oder gleich ist:
\begin{matrix}s_n &=& 1 + 1/2 &+& \left(1/3 + 1/4\right) &+& \left(1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8\right) & \cdots + 1/n \\ \\ &>& 1 + 1/2 &+& \left(1/4 + 1/4\right) &+& \left(1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8\right) & \cdots + 1/n \\ \\ &=& 1 + 1/2 &+& \left(1/2\right) &+& \left(1/2\right) & \cdots + 1/n \end{matrix}
Die Summe der letzten Zeile kann offensichtlich jeden Wert übersteigen, wenn n entsprechend groß ist.

[Bearbeiten] Anwendungsbeispiel

Oben freitragender Ausleger, unten Schemazeichnung.
Oben freitragender Ausleger, unten Schemazeichnung.

Das Bild zeigt eine Anwendung der harmonischen Reihe. Werden die Abstände der Klötze von oben nach unten vorgehend gemäß der harmonischen Reihe gewählt, so ist der Stapel gerade noch stabil. Auf diese Weise bekommt der Abstand zwischen dem obersten und untersten Klotz den größtmöglichen Wert. Die Klötze haben eine Länge l0. Der oberste Baustein liegt mit seinem Schwerpunkt auf dem zweiten Stein an der Position 1/2 * l0= 1/2 * 1 *l0. Der gemeinsame Schwerpunkt von Stein-1 und Stein-2 liegt bei 1/2 * 1/2 * l0, der von Stein-1, Stein-2 und Stein-3 bei 1/2 * 1/3 * l0, der des n-ten Steins bei 1/2 * 1/n * l0. Die Gesamtlänge L des Auslegers beträgt somit: L = \frac{1}{2} \cdot l_0\cdot \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}.

Jeder zusätzliche Stein entspricht einem weiteren Summanden in der harmonischen Reihe. Da die harmonische Reihe beliebig große Werte annehmen kann, wenn man sie nur weit genug fortführt, gibt es keine prinzipielle Grenze, wie weit der oberste Stein überhängen kann. Interessant ist auch, dass die Dicke und das Gewicht der Steine keine Rolle spielt. Die Zahl der nötigen Steine steigt allerdings sehr rasch mit dem angestrebten Überhang. An der oben stehenden Tabelle kann man ablesen, dass für einen Überhang in 2.5-facher Steinlänge etwa 100 Steine benötigt werden. Bei einem realen Aufbau würde dies bereits hohe Anforderungen an die Maßhaltigkeit der Steine stellen.

[Bearbeiten] Eigenschaften der Partialsummen

Ist p\geq5 eine Primzahl, so ist der Zähler der (p − 1)-ten Partialsumme

1+\frac12+\frac13+\frac14+\dots+\frac1{p-1}

nach dem Satz von Wolstenholme durch p2 teilbar.

[Bearbeiten] Verwandte Reihen

Die alternierende harmonische Reihe konvergiert:

\sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k} = \ln 2.

Die Konvergenz folgt aus dem Leibnizkriterium, der Grenzwert lässt sich mit der Taylor-Entwicklung des natürlichen Logarithmus berechnen.


Als allgemeine harmonische Reihe bezeichnet man

S = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^\alpha},

sie divergiert für 0<α≤1 und konvergiert für α>1 (siehe Cauchysches Verdichtungskriterium).

Beispiel für α=2:

S = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} = \pi^2/6

Beispiel für α=4:

S = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} = \pi^4/90

Lässt man für α auch komplexe Zahlen zu, gelangt man zur Riemannschen Zetafunktion.

[Bearbeiten] Quellen

  • Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. 5. Auflage. Teubner-Verlag, 1988, ISBN 3-519-42221-2

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