Holomorphie

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Dieser Artikel erläutert den mathematischen Begriff Holomorphie; für holomorphe Pilze siehe Holomorphe (Mykologie).

Holomorphie oder komplexe Differenzierbarkeit ist in der Funktionentheorie (einem Teilgebiet der Mathematik) eine Eigenschaft von Funktionen von komplexen Zahlen.

In der reellen Analysis kann man eine Funktion für einzelne Punkte ihres Definitionsbereiches auf die beiden folgenden Eigenschaften überprüfen:

Die Funktion ist an diesem Punkt differenzierbar.
Die Funktion lässt sich um diesen Punkt durch eine Potenzreihe mit positivem Konvergenzradius darstellen.

Im Gegensatz zur reellen Analysis sind bei komplexwertigen Funktionen beide Eigenschaften äquivalent, das heißt eine Funktion ist genau dann in einer Umgebung von $z 0$ nach der komplexen Variablen $z$ komplex differenzierbar, wenn sie in $z 0$ lokal in eine komplexe Potenzreihe entwickelbar ist.

Wenn eine komplexwertige Funktion in einem Punkt diese beiden Eigenschaften besitzt, wird sie als holomorph in diesem Punkt bezeichnet. Als Synonyme für den Begriff holomorph werden gelegentlich die Begriffe analytisch und regulär gebraucht.

Als dritte und gleichwertige Eigenschaft für den Holomorphiebegriff kann man die lokale Gültigkeit der cauchyschen Integralformel heranziehen.

Viele wichtige Eigenschaften holomorpher Funktionen lassen sich direkt aus den obigen Bedingungen herleiten (beliebig oft komplex differenzierbar, Darstellung der Taylorkoeffizienten, usw.).

[Bearbeiten] Holomorphie

Es sei $U$ eine offene Teilmenge der komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ und $h\colon U\to\mathbb{C}$ eine Funktion. Dann sind die folgenden Aussagen gleichwertig:

Die Funktion $h$ ist in allen Punkten von $U$ holomorph, $h$ ist in $U$ holomorph.
Die Funktion $h$ ist in allen Punkten von $U$ komplex-differenzierbar.
Die Funktion $h$ ist komplex analytisch, das heißt zu jedem Punkt $z_0 \in U$ lässt sich zu jeder abgeschlossenen Kreisscheibe $K$ um $z 0$ , die vollständig in $U$ liegt, jeder Funktionswert von $h$ zu einem inneren Punkt von $K$ durch eine komplexe Potenzreihe um $z 0$ darstellen.
Zu jedem Punkt $z_0 \in U$ lässt sich zu jeder abgeschlossenen Kreisscheibe $K$ um $z 0$ mit Rand $R$ , die vollständig in $U$ liegt, jeder Funktionswert von $h$ zu einem inneren Punkt $z$ von $K$ durch ein Integral längs des Randes $R$ darstellen:
$h (z) = \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \cdot \oint_R \frac{h(\zeta)}{\zeta - z} \, \mathrm{d}\zeta$
Die Pompeiu-Wirtinger-Ableitung nach $\overline{z}$ verschwindet auf $U$ , das heißt für alle $w \in U$ gilt:
$\frac{\partial h}{\partial \overline{z}}(w):=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial h}{\partial x}(w) + \mathrm{i}\frac{\partial h}{\partial y}(w)\right) = 0$
In diesem Fall ist insbesondere $f' = \frac{\partial h}{\partial z} := \frac{1}{2}\left(\frac{\partial h}{\partial x} - \mathrm{i}\frac{\partial h}{\partial y}\right)$ .

Jede reell harmonische Funktion ist Realteil einer Holomorphen Funktion. Ist der Realteil einer Funktion eine harmonische Funktion und der Imaginärteil eine dazu konjungiert harmonische Funktion so ist die Funktion ebenfalls holomorph.

[Bearbeiten] Komplexe Differenzierbarkeit

Komplexe Zahlen $z = x + i y$ lassen sich auch als reelle Vektoren $(x, y)$ aus $\mathbb{R}^2$ auffassen. Damit kann eine komplexwertige Funktion $f:\mathbb C \to \mathbb C$ auch als eine Funktion $f:\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ im zweidimensionalen reellen Zahlenraum aufgefasst werden. Dann kann im Sinne der reellen Analysis für komplexe Funktionen die reelle Differenzierbarkeit untersucht werden. Komplexe und reelle Differenzierbarkeit können sich unterscheiden.

In der Funktionentheorie wird komplexe Differenzierbarkeit i.A. für solche Funktionen definiert, die offene Mengen auf offene Mengen abbilden:

$U$ sei eine offene Teilmenge von $\mathbb{C}$ , $a$ ein Element aus $U$ , $f$ eine Abbildung von $U$ nach $\mathbb C$ , dann heißt $f$ komplex differenzierbar in $a$ , wenn folgendes gilt:

$f'(a) = \lim_{w \to 0}\frac{f(a+w) - f(a)}{w}$

Dabei wird vorausgesetzt, dass $w$ und $w + a$ in $U$ ' liegen, also im Definitionsbereich von $f$ . Der Limes auf der rechten Seite existiere für jedes $a$ aus $U$ , die linke Seite wird dann als $f'(a)$ definiert.

Funktionen, die in jedem Punkt einer offenen Menge komplex differenzierbar sind, werden als holomorph (in älterer Literatur als analytisch) bezeichnet.

Im Punkt $a$ erfüllt die Funktion $f$ die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.

Man kann zeigen, dass die Funktion $f'$ , die man auf diese Weise erhält, wieder holomorph ist. $f'$ heißt Ableitung von $f$ .

Im Gegensatz zur reellen Differenzierbarkeit ist eine komplex differenzierbare Funktion beliebig oft differenzierbar, d.h. sie lässt sich immer in eine Taylorreihe ohne Restglied entwickeln (dabei müssen nicht alle Koeffizienten von Null verschieden sein).

Man kann zeigen, dass nicht-konstante holomorphe Funktionen offene Abbildungen sind, d.h. sie bilden offene Mengen auf offene Mengen ab. Hieraus folgt, dass bijektive holomorphe Funktionen Homöomorphismen sind. Insbesondere kann also eine nicht-konstante reellwertige Funktion niemals holomorph sein (denn die reellen Zahlen enthalten keine nichtleere offene Menge der komplexen Ebene).

[Bearbeiten] Beispiele

Folgende Funktionen sind holomorph auf ganz $\mathbb{C}$ :

jede polynomielle Abbildung $z\mapsto\sum\limits_{i=0}^na_iz^i$ mit komplexen Koeffizienten
die Exponentialfunktion $exp$
die trigonometrischen Funktionen $sin$ und $cos$
die hyperbolischen Funktionen $sinh$ und $cosh$

Folgende Funktionen sind in keinem $z\in\mathbb{C}$ komplex differenzierbar, und damit auch nirgendwo holomorph:

die Betragsfunktion $z\mapsto |z|$
die Projektionen auf den Realteil $z\mapsto\mathrm{Re}(z)$ beziehungsweise auf den Imaginärteil $z\mapsto\mathrm{Im}(z)$
die komplexe Konjugation $z\mapsto\overline{z}$

Holomorphie impliziert trivialerweise immer komplexe Differenzierbarkeit. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, denn die Funktion $z\mapsto z\overline{z}$ ist genau im Punkt $0$ komplex differenzierbar, aber nirgendwo holomorph.

[Bearbeiten] Anmerkungen

[Bearbeiten] Beliebig kleines Intervall definiert eine holomorphe Funktion

Handelt es sich um eine holomorphe Funktion und hat man von dieser Funktion ein beliebig kleines, aber endliches Intervall gegeben, kennt man automatisch die gesamte Funktion. Diese Abbildung ist eindeutig. D.h. es gibt keine zwei verschiedene holomorphe Funktionen, die auf einem endlichen Intervall identisch sind (siehe Identitätssatz). Für reelle differenzierbare Funktionen gilt dies natürlich nicht.

[Bearbeiten] n-fach differenzierbar?

In der reellen Analysis unterscheidet man, wie oft eine Funktion in einem Bereich differenzierbar ist.

Beispielsweise ist die Funktion $f (x) := x \cdot x \cdot |x|$ für alle reelle Zahlen außer $0$ beliebig oft differenzierbar. Auf ganz $\mathbb R$ ist sie zweimal differenzierbar, im Nullpunkt ist ihre zweite Ableitung jedoch nicht differenzierbar.

Bei komplexen Funktionen gilt dagegen: Ist eine Funktion holomorph in einem Gebiet, so ist ihre Ableitung ebenfalls holomorph und kann damit immer erneut differenziert werden.

[Bearbeiten] Algebraische Eigenschaften

Zu einer nichtleeren offenen Menge $U$ sei $H (U)$ die Menge aller in $U$ holomorpher Funktionen.

Zu zwei beliebigen Funktionen $f$ und $g$ aus $H (U)$ seien Addition und Multiplikation wie folgt punktweise definiert:

$(f + g)(z): = f (z) + g (z)$
$( f \cdot g ) (z) := f (z) \cdot g (z)$

Dann bildet $H (U)$ zusammen mit definierter Addition und Multiplikation einen kommutativen unitären Ring. Null- und Eins-Element des Ringes sind die konstanten Funktionen, die jeden Punkt aus $U$ auf $0$ , bzw. $1$ abbilden.

Fordert man weiterhin, dass $U$ zusammenhängend, d. h. ein Gebiet ist, erhält man unter sonst gleichen Bedingungen einen Integritätsring.

[Bearbeiten] Ganze Funktionen

Funktionen, die in der ganzen komplexen Zahlenebene holomorph sind, werden als ganze Funktionen bezeichnet.

Ist $f$ eine ganze Funktion und zusätzlich beschränkt (d. h. es gibt ein $C > 0$ , so dass für alle $z$ gilt: $| f (z) | < C$ ), so gilt nach dem Satz von Liouville: $f$ ist auf ganz $\mathbb C$ konstant.