Mersenne-Primzahl

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Eine Mersenne-Primzahl ist eine Primzahl der Form 2^p–1. Beispielsweise ist 3 = 2²–1 eine Mersenne-Primzahl, genau wie 7 = 2³–1. Der kleinste prime Exponent, der auf keine Mersenne-Primzahl führt, ist 11: 2¹¹–1 = 2047 ist faktorisierbar als 2047 = 23 · 89.

Allgemeiner nennt man die Zahl M_n:=2ⁿ–1 die n-te Mersenne-Zahl. Mit dieser Bezeichnungsweise sind die Mersenne-Primzahlen genau die Mersenne-Zahlen, die Primzahlen sind.

Den Namen haben diese Primzahlen von dem französischen Mönch und Priester Marin Mersenne (1588–1648), der behauptete, dass für p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 und 257 M_p eine Primzahl ist. Dabei irrte er aber bei den Zahlen 67 und 257 und übersah die Zahlen 61, 89 und 107. Dass M₆₇ keine Primzahl ist, wurde erst im Jahre 1903 vom Mathematiker Frank Cole (1861-1926) entdeckt. Um den Nachweis zu führen, dass M₂₅₇ keine Primzahl ist, wurde 1932 eine frühe Rechenmaschine verwendet.
Bei der Zahl 67 handelt es sich möglicherweise um einen Lesefehler seitens Mersenne aus seiner Korrespondenz mit Frenicle de Bessy und Fermat, wobei er p=61 mit p=67 verwechselte.

Inhaltsverzeichnis

1 Eigenschaften der Mersenne-Primzahlen
2 „Anwendungen“
3 Die Suche nach Mersenne-Primzahlen
4 Vermutungen zu den Mersenne-Zahlen
5 Geschichte der Mersenne-Primzahlen als Tabelle
6 Liste aller bekannten Mersenne-Primzahlen
7 Weblinks

[Bearbeiten] Eigenschaften der Mersenne-Primzahlen

Es gibt eine Reihe bekannter Eigenschaften der Mersenne-Primzahlen. Um etwa zu untersuchen, ob eine große Zahl eine Primzahl ist, ist die wichtigste wohl die folgende:

Wenn

M p

eine Primzahl ist, dann muss auch

p

eine Primzahl sein.

Diese Eigenschaft spielt eine wichtige Rolle bei der Suche nach Mersenne-Primzahlen, da man nur noch relativ wenige Kandidaten (nämlich die, bei denen $p$ eine Primzahl ist) testen muss. So kann beispielsweise $M 10$ keine Primzahl sein, da 10 keine Primzahl ist. (In der Tat ist $M_{10} = 31 \cdot 11 \cdot 3$ ). Oftmals wird diese Eigenschaft mit ihrer Umkehrung verwechselt und behauptet, dass für jede Primzahl $p$ auch $M p$ eine Primzahl ist. Das ist aber ein Denkfehler, da z. B. 11 eine Primzahl ist, nicht aber $M_{11} = 23 \cdot 89$ .

Der Beweis der oben genannten Eigenschaft ergibt sich folgendermaßen: Wenn p=rs zusammengesetzt ist, dann gilt:

2^rs–1 = (2^r – 1) (2^r(s–1) + 2^r(s–2) + ... + 2^r + 1)

und damit ist ein nichttrivialer Faktor von M_p gefunden.

Zwei weitere Eigenschaften von Mersennezahlen sind die folgenden:

Wenn q ein Teiler von M_p ist, dann gilt q ≡ 1 (mod p) und q ≡ ±1 (mod 8).

Wenn p eine Primzahl ist und es gilt p ≡ 3 (mod 4), dann gilt:

2p+1 teilt M_p ⇔ 2p+1 prim

Letztere wurde von Leonhard Euler formuliert, aber erst später von Joseph-Louis Lagrange bewiesen.

Außerdem ist noch bekannt:

Eine Mersenne-Primzahl kann keine Wieferich-Primzahl sein.

Unter Annahme der erweiterten Riemannschen Vermutung lässt sich noch zeigen, dass

$\sum_{p<x, q|M_p}\frac{1}{q}$

für x gegen unendlich konvergiert.

Die Mersennezahl $M n$ ist die Dualzahl, die gerade aus $n$ Einsen besteht. Bei Mersenne-Primzahlen ist also die Anzahl der Einsen selbst eine Primzahl. Zum Beispiel ist 11111 die Dualzahldarstellung von 31.

[Bearbeiten] „Anwendungen“

Neben der Tatsache, dass die größten bekannten Primzahlen Mersenne-Zahlen sind, spielen diese eine wichtige Rolle im Zusammenhang mit vollkommenen Zahlen. $2 n - 1 (2 n - 1)$ ist immer dann eine vollkommene Zahl, falls $2 n - 1$ eine Primzahl ist. Jede gerade vollkommene Zahl lässt sich auf diese Weise darstellen. In der Tabelle unten wird die vollkommene Zahl zur $n$ -ten Mersennezahl mit $P (n)$ bezeichnet.

Eine weitere Anwendung ist der Mersenne Twister, ein Pseudozufallszahlengenerator.

[Bearbeiten] Die Suche nach Mersenne-Primzahlen

Da für Mersenne-Zahlen ein besonders einfacher Primzahltest existiert, nämlich der Lucas-Lehmer-Test, eignen sich diese Zahlen für die Suche nach Primzahlrekorden. Der Lucas-Lehmer-Test basiert ganz wesentlich darauf, dass die Mersenne-Zahlen im Dualsystem nur aus lauter Einsen bestehen, also, wenn man so will, die binären Schnapszahlen sind.

[Bearbeiten] Der Lucas-Lehmer-Test

Der Lucas-Lehmer-Test ist zum Testen von Mersenne-Zahlen ab M₃ geeignet. Er funktioniert wie folgt:

Sei p ungerade. Ferner sei die rekursive Folge S(k+1) definiert durch S(1) = 4, S(k+1) = S(k)²–2

Dann gilt: M_p = 2^p–1 ist genau dann eine Primzahl, wenn S(p–1) durch M_p teilbar ist.

In dieser von D. N. Lehmer gefundenen Form, die auf Edouard Lucas zurück geht, ist die Anwendung allerdings unpraktisch, weil die Zahlen S(k) sehr schnell sehr groß werden. Deshalb werden heutzutage bereits alle Zwischenschritte modulo M(p) ausgerechnet, so dass große Zahlen vermieden werden:

Sei S(1) = 4, S(k+1) = S(k)²–2 mod M_p

Ist S(p–1) = 0 dann ist M_p eine Primzahl.

[Bearbeiten] Beispiele

Wir prüfen mit diesem Verfahren, ob M₅ = 2⁵–1 = 31 eine Primzahl ist:

 S(1) = 4
 S(2) = ( 4² - 2) mod 31 = 14
 S(3) = (14² - 2) mod 31 =  8
 S(4) = ( 8² - 2) mod 31 =  0

Da S(4) = 0 ist, ist M₅ = 31 eine Primzahl.

Wir prüfen mit diesem Verfahren, ob M₁₁ = 2¹¹–1 = 2047 = 23 * 89 eine Primzahl ist:

 S( 1) = 4
 S( 2) = (   4² - 2) mod 2047 =   14
 S( 3) = (  14² - 2) mod 2047 =  194
 S( 4) = ( 194² - 2) mod 2047 =  788
 S( 5) = ( 788² - 2) mod 2047 =  701
 S( 6) = ( 701² - 2) mod 2047 =  119
 S( 7) = ( 119² - 2) mod 2047 = 1877
 S( 8) = (1877² - 2) mod 2047 =  240
 S( 9) = ( 240² - 2) mod 2047 =  282
 S(10) = ( 282² - 2) mod 2047 = 1736

Da S(10) > 0 ist, ist M₁₁ = 2047 keine Primzahl.

Wir prüfen mit diesem Verfahren, ob M₁₉ = 2¹⁹–1 = 524287 eine Primzahl ist:

 S( 1) = 4
 S( 2) = (      4² - 2) mod 524287 =     14
 S( 3) = (     14² - 2) mod 524287 =    194
 S( 4) = (    194² - 2) mod 524287 =  37634
 S( 5) = (  37634² - 2) mod 524287 = 218767
 S( 6) = ( 218767² - 2) mod 524287 = 510066
 S( 7) = ( 510066² - 2) mod 524287 = 386344
 S( 8) = ( 386344² - 2) mod 524287 = 323156
 S( 9) = ( 323156² - 2) mod 524287 = 218526
 S(10) = ( 218526² - 2) mod 524287 = 504140
 S(11) = ( 504140² - 2) mod 524287 = 103469
 S(12) = ( 103469² - 2) mod 524287 = 417706
 S(13) = ( 417706² - 2) mod 524287 = 307417
 S(14) = ( 307417² - 2) mod 524287 = 382989
 S(15) = ( 382989² - 2) mod 524287 = 275842
 S(16) = ( 275842² - 2) mod 524287 =  85226
 S(17) = (  85226² - 2) mod 524287 = 523263
 S(18) = ( 523263² - 2) mod 524287 =      0

Da S(18) = 0 ist, ist M₁₉ = 524287 eine Primzahl (seit 1603 bekannt).

[Bearbeiten] Literatur zum Lucas-Lehmer-Test

Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques, E. Lucas, Amer. Journ. of Math., 1, 289–
An extended theory of Lucas' functions, D. H. Lehmer, Annals of mathematics, 31, 419–

[Bearbeiten] Suche nach Mersenne-Primzahlen: GIMPS

Bisher kennt man 44 Mersenne-Primzahlen. Mit Computerhilfe versucht man, weitere Mersenne-Primzahlen zu finden. Da es sich um sehr große Zahlen handelt – die 44. Mersenne-Primzahl hat mehr als neun Millionen Ziffern im Dezimalsystem – sind die Berechnungen aufwändig. Rechenoperationen mit derart großen Zahlen werden von Computern nicht von Haus aus unterstützt. Man muss die Zahlen in großen Feldern abspeichern und die damit erforderlichen Grundrechenarten programmieren. Dies führt zu langen Programmlaufzeiten.

GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) versucht daher, weltweit möglichst viele Computer an den Berechnungen zu beteiligen und stellt die erforderliche Software (Prime95) für eine Reihe von Plattformen (Windows, Unix, Linux ...) zur Verfügung. Jeder kann mitmachen, sofern er einen Rechner mit (zeitweise) freien CPU-Kapazitäten besitzt. Dazu muss man sich von der Website die Software herunterladen und dann installieren. Danach meldet man sich bei GIMPS und lässt sich eine Zahl geben, die man untersuchen soll. Wenn die Berechnungen erledigt sind (meist nach mehreren Wochen oder Monaten) meldet man das Ergebnis bei GIMPS zurück.

[Bearbeiten] Vermutungen zu den Mersenne-Zahlen

Gibt es unendlich viele Mersenne-Primzahlen? Man vermutet aufgrund von plausiblen Heuristiken, dass es etwa $c \cdot \ln x$ viele Mersenne-Primzahlen $M p$ gibt mit $p < x$ . Wenn dies der Fall ist, so gibt es tatsächlich unendlich viele Mersenne-Primzahlen.

Gibt es unendlich viele Mersenne-Zahlen $M p$ mit p prim, die keine Primzahlen sind? Auch hier vermutet man als Antwort ja. Dies würde zum Beispiel aus der Vermutung, dass es unendlich viele Sophie-Germain-Primzahlen gibt, die kongruent 3 modulo 4 sind, folgen.

Sind alle Mersenne-Zahlen M_p mit p prim quadratfrei, d. h. kommt in der Primfaktorzerlegung der Zahl jeder Primfaktor genau einmal vor? Man konnte bisher noch nicht einmal beweisen, dass dies für unendlich viele Mersenne-Zahlen gilt.

Gilt die "neue Mersenne-Vermutung"? Die Folge von Mersenne-Primzahlen, die Mersenne angab, lässt vermuten, dass er meinte, dass eine Mersenne-Zahl M_p mit p prim genau dann prim ist, wenn p=2^k±1 oder p=4^k±3. Da diese Aussage nicht gilt, stellten P. Bateman, J.Selfridge und S.Wagstaff die neue Mersenne-Vermutung auf.

Diese besagt, dass aus zwei der folgenden drei Aussagen bereits die dritte folgt:

n = 2^k ± 1 oder n = 4^k ± 3
2ⁿ – 1 ist eine (Mersenne) Primzahl
(2ⁿ+1)/3 ist eine Primzahl

Sind alle Glieder der Folge C(0) = 2, C(k+1) = 2^C(k)–1 Primzahlen? Die stärkere Vermutung, dass alle Zahlen M_Mp Primzahlen sind, für die M_p eine Primzahl ist, konnte inzwischen für p=13 widerlegt werden. Diese letzteren Zahlen nennt man doppelte Mersenne-Zahlen. Auch hier ist noch nicht bekannt, ob es unendlich viele Primzahlen darunter gibt.

[Bearbeiten] Geschichte der Mersenne-Primzahlen als Tabelle

Jahr	Ereignis
bis 1536	Man glaubt, dass für alle Primzahlen p gilt, 2^p–1 sei prim.
1536	Hudalricus Regius zeigt, dass 2¹¹–1 = 23 * 89 keine Primzahl ist, obwohl 11 prim ist.
1603	Pietro Cataldi (1548–1626) zeigt, dass 2ⁿ–1 Primzahlen sind für n = 17,19. Fälschlicherweise glaubt er dies auch für n = 23, 29, 31 und 37 (ist nur für n = 31 korrekt).
1640	Fermat widerlegt Cataldi für n = 23 und n = 37: 2²³–1 = 47 * 178481 und 2³⁷–1 = 223 * 616318177 sind keine Primzahlen.
1644	Mersenne behauptet, 2ⁿ–1 sei prim für n = 2,3,5,7,13,17,19,31,67,127 und 257, jedoch nicht prim für alle anderen natürlichen Zahlen kleiner als 257 (Vorwort zu seinem Werk "Cogitata Physica-Mathematica"). Dies ist allerdings falsch, denn 2ⁿ–1 ist prim sowohl für n = 61 (was 1883 bemerkt wird) als auch für n = 89,107 (wird erst nach 1900 nachgewiesen).
1738	Euler widerlegt Cataldi für n = 29: 2²⁹-1 =233 * 1103 * 2089
1750	Euler bestätigt, dass Cataldi für n=31 richtig lag: 2³¹–1 ist prim.
1870	Edouard Lucas (1842–1891) formuliert die theoretischen Grundlagen für den Lucas-Lehmer Test.
1876	Lucas bestätigt Mersenne: 2¹²⁷–1 ist prim.
1883	M. Pervouchine (orthodoxer Priester in Perm/Russland) zeigt, dass 2⁶¹–1 prim ist (Widerspruch zu Mersenne).
1911	R.E. Powers widerspricht Mersenne für n = 89: 2ⁿ–1 ist prim.
1914	Powers widerspricht Mersenne auch für n = 107: 2ⁿ–1 ist prim. Fast gleichzeitig kommt auch E. Fauquembergue zu dieser Aussage.
1930	Lehmer (1867–1938) formuliert den Lucas-Lehmer Test.
1932	Lehmer zeigt: M(149) und M(257) sind nicht prim.
1934	Powers zeigt: M(241) ist nicht prim.
1944	H.S.Uhler zeigt: M(157) und M(167) sind nicht prim.
1945	H.S.Uhler zeigt: M(229) ist nicht prim.
1947	H.S.Uhler zeigt: M(199) ist nicht prim.
1947	Der Bereich von 1 bis 258 wird vollständig überprüft. Man kennt nun die Mersenne-Primzahlen M(n) für n = 2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107 und 127.
1951	Beginn des Einsatzes von Computern, die Länge der größten bekannten Primzahl steigt bis 1952 von 39 Stellen auf 687 Dezimalstellen.
1963	Gillies entdeckt M(11.213) mit 3.376 Stellen.
1996	Joel Armengaud und George Woltman entdecken mit GIMPS M(1.398.269) mit 420.921 Stellen.
1999	Mit M(6.972.593), die 2.098.960 Stellen hat, kennt man erstmals eine Primzahl mit mehr als 1 Million Stellen.
2004	Es wird nachgewiesen, dass M(24.036.583), eine Zahl mit 7.235.733 Stellen, prim ist.
2005	Im Februar wird vom GIMPS-Projekt die 42. Mersenne-Primzahl entdeckt: M(25.964.951) hat 7.816.230 Stellen. Ebenfalls vom GIMPS-Projekt wird im Dezember die 43. Mersenne-Primzahl entdeckt: M(30.402.457) hat 9.152.052 Stellen.
2006	Am 4. September vermeldet das GIMPS-Projekt die Entdeckung der 44. Mersenne-Primzahl M(32.582.657) mit 9.808.358 Stellen.

[Bearbeiten] Liste aller bekannten Mersenne-Primzahlen

Nr.	n	Anzahl Ziffern von M(n)	Anzahl Ziffern der perfekten Zahl P(n)	Jahr	Entdecker
1	2	1	1	-	-
2	3	1	2	-	-
3	5	2	3	-	-
4	7	3	4	-	-
5	13	4	8	1456	-
6	17	6	10	1588	Cataldi
7	19	6	12	1588	Cataldi
8	31	10	19	1772	Euler
9	61	19	37	1883	Pervushin
10	89	27	54	1911	Powers
11	107	33	65	1914	Powers
12	127	39	77	1876	Lucas
13	521	157	314	1952	Robinson
14	607	183	366	1952	Robinson
15	1279	386	770	1952	Robinson
16	2203	664	1327	1952	Robinson
17	2281	687	1373	1952	Robinson
18	3217	969	1937	1957	Riesel
19	4253	1281	2561	1961	Hurwitz
20	4423	1332	2663	1961	Hurwitz
21	9689	2917	5834	1963	Gillies
22	9941	2993	5985	1963	Gillies
23	11213	3376	6751	1963	Gillies
24	19937	6002	12003	1971	Tuckerman
25	21701	6533	13066	1978	Noll + Nickel
26	23209	6987	13973	1979	Noll
27	44497	13395	26790	1979	Nelson + David Slowinski
28	86243	25962	51924	1982	David Slowinski
29	110503	33265	66530	1988	Colquitt + Welsh
30	132049	39751	79502	1983	David Slowinski
31	216091	65050	130100	1985	David Slowinski
32	756839	227832	455663	1992	David Slowinski + Gage
33	859433	258716	517430	1994	David Slowinski + Gage
34	1.257.787	378632	757263	1996	David Slowinski + Gage
35	1.398.269	420921	841842	1996	Joel Armengaud + George Woltman + GIMPS
36	2.976.221	895932	1.791.864	1997	Gordon Spence + George Woltman + GIMPS
37	3.021.377	909526	1.819.050	1998	Roland Clarkson + George Woltman + Scott Kurowski + GIMPS, PrimeNet
38	6.972.593	2.098.960	4.197.919	1999	Nayan Hajratwala + George Woltman + Scott Kurowski + GIMPS, PrimeNet
39	13.466.917	4.053.946	8.107.892	2001	Michael Cameron + George Woltman + Scott Kurowski + GIMPS, PrimeNet
40?	20.996.011	6.320.430	12.640.859	2003	Michael Shafer + George Woltman + Scott Kurowski + GIMPS, PrimeNet
41?	24.036.583	7.235.733	14.471.466	2004	Josh Findley + George Woltman + Scott Kurowski + GIMPS, PrimeNet
42?	25.964.951	7.816.230	15.632.458	2005	Martin Nowak + George Woltman + Scott Kurowski + GIMPS, PrimeNet
43?	30.402.457	9.152.052	18.304.103	2005	Curtis Cooper + Steven Boone + George Woltman + Scott Kurowski + GIMPS, PrimeNet
44?	32.582.657	9.808.358	19.616.714	2006	Curtis Cooper + Steven Boone + George Woltman + Scott Kurowski + GIMPS, PrimeNet

Bisher (Stand 28. November 2006) ist unbekannt, ob es zwischen n=13.466.917 und n=32.582.657 neben den vier bekannten Mersenne-Primzahlen noch weitere gibt.