Nombre premier de Mersenne

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Un nombre premier de Mersenne est un nombre premier s'écrivant sous la forme 2^p - 1, p étant premier. Ces nombres premiers doivent leur nom à un érudit et mathématicien français du XVII^e siècle, Marin Mersenne.

Plus généralement, les nombres de Mersenne (pas nécessairement premiers, mais candidats à l'être) sont les nombres de la forme 2^p - 1, avec p premier. On utilise la notation M_p = 2^p - 1.

Les plus petits nombres premiers de Mersenne sont:

3 = 2²-1
7 = 2³-1
31 = 2⁵-1
127 = 2⁷-1
Mais 2047 = 2¹¹-1 = 23 x 89 est un nombre de Mersenne, mais non premier.

On démontre qu'un entier de la forme 2ⁿ-1 ne peut pas être premier si n n'est pas lui-même premier. Ainsi 2⁴-1=15 n'est pas de Mersenne, ni premier.

Sommaire

1 Propriétés des nombres de Mersenne
2 Historique
3 Liste
4 Voir aussi
- 4.1 Liens internes
- 4.2 Liens externes

[modifier] Propriétés des nombres de Mersenne

Les nombres de Mersenne ont les propriétés suivantes :

M_n est la somme de coefficients binomiaux moins 1 : $M_n = \sum_{i=0}^{n} {n \choose i} - 1$ .

Si a divise M_q (q premier) alors a possède les propriétés suivantes : a = 1 (mod 2q) et : a = +/- 1 (mod 8).

Un théorème d'Euler entraîne que : M_q (q premier) est premier si et seulement il existe une unique paire $(x, y)$ telle que : $M q = (2 x) 2 + 3(3 y) 2$ avec q >= 5 . Très récemment, Bas jansen a étudié $M q = x 2 + d y 2$ pour d=0..48 .

Soit q = 3 (mod 4) premier. $2 q + 1$ est aussi premier si et seulement si : 2q+1 divise M_q.

Reix a récemment montré que les nombres de Mersenne M_q (q premier > 3), premiers ou non, s'écrivent : $M q = (8 x) 2 - (3 q y) 2 = (1 + S q) 2 - (D q) 2$ . Évidemment, si la paire (x,y) est unique, alors M_q est premier.

Ramanujan a montré que l'équation : $M q = 6 + x 2$ a seulement 3 solutions avec q premier : 3, 5, et 7 (et 2 solutions avec q non-premier).

Tous les facteurs premier d'un nombre de Mersenne associé au nombre premier p sont de la forme kp+1 où k est un entier naturel. Deux nombres de Mersenne distincts sont toujours premiers entre-eux.

[modifier] Historique

Les nombres premiers de Mersenne sont liés aux nombres parfaits, qui sont les nombres égaux à la somme de leurs diviseurs propres. C'est cette connexion qui a motivé historiquement l'étude des nombres premiers de Mersenne. Dès le IV^e siècle av. J.-C., Euclide démontrait que si M = 2^p - 1 est un nombre premier, alors M(M+1)/2 = 2^(p-1)(2^p - 1) est un nombre parfait. Deux millénaires plus tard, au XVII^e siècle, Euler prouvait que tous les nombres parfaits pairs ont cette forme. Aucun nombre parfait impair n'est connu, et on suppose qu'il n'en existe aucun.

M_a divise M_p si a divise p. Donc pour que M_p soit premier, il faut que p soit premier. Cela simplifie déjà la recherche de nombres premiers de Mersenne. La réciproque n'est pas vraie: M_p peut être composé alors que p est premier ; le plus petit exemple est 2¹¹-1 = 23×89.

Pour les nombres de Mersenne il existe une méthode (comparativement) très rapide pour déterminer s'ils sont premiers, développée à l'origine par Lucas en 1878 et améliorée par Lehmer dans les années 1930. On peut effectivement montrer que $M p = 2 p - 1$ est premier si et seulement si $M p$ divise $S p - 2$ , où $S 0 = 4$ et pour k > 0, $S_k = S_{k-1}^2 -2$ .

Mersenne n'a pas inventé les nombres de Mersenne, mais il a fourni une liste de nombres premiers de Mersenne jusqu'à l'exposant 257. Malheureusement cette liste était fausse: elle incluait par erreur 67 et 257, et omettait 61, 89 et 107.

Les quatre premiers nombres premiers de Mersenne étaient connus dès l'Antiquité. Le cinquième (2¹³-1) a été découvert avant 1461 par un inconnu. Les deux suivants ont été trouvés par Cataldi en 1588. Plus d'un siècle plus tard, en 1750, Euler en trouva encore un. Le suivant dans l'ordre chronologique (mais non numérique) a été trouvé par Lucas en 1876, puis un par Pervushin en 1883. Deux autres ont été trouvés au début du XX^e siècle par Powers en 1911 et en 1914.

La recherche pour les nombres premiers de Mersenne fut révolutionnée par l'introduction des calculateurs électroniques. La première identification d'un nombre de Mersenne par ce moyen eut lieu à 22 heures le 30 janvier 1952 par un ordinateur SWAC à l'Institut d'Analyse Numérique (Institute for Numerical Analysis) du campus de Los Angeles de l'Université de Californie, sous la direction de D.H. Lehmer, avec un programme écrit par R.M. Robinson.

C'était le premier nombre premier de Mersenne identifié depuis 38 ans. Le suivant fut trouvé moins de deux heures plus tard par le même ordinateur, qui en trouva trois de plus dans les mois suivants.

En septembre 2006, 44 nombres premiers de Mersenne étaient connus, et le plus grand nombre premier connu était un nombre premier de Mersenne, 2^32 582 657-1. Comme plusieurs de ses prédécesseurs, il a été découvert par un calcul distribué sous l'égide du projet GIMPS, Great Internet Mersenne Prime Search (qui signifie « grande recherche par Internet de nombres premiers de Mersenne »).

[modifier] Liste

En septembre 2006, 44 nombres premiers de Mersenne M_p=2^p-1 étaient connus.

#	p	M_p	Chiffres	Découverte	Découvreur
1	2	3	1	Antiquité	Inconnu
2	3	7	1	Antiquité	Inconnu
3	5	31	2	Antiquité	Inconnu
4	7	127	3	Antiquité	Inconnu
5	13	8 191	4	XIIIe siècle	Ibn Fallus
6	17	131 071	6	1588	Cataldi
7	19	524 287	6	1588	Cataldi
8	31	2 147 483 647	10	1750	Euler
9	61	2 305 843 009 213 693 951	19	1883	Pervushin
10	89	618970019…449562111	27	1911	Powers
11	107	162259276…010288127	33	1914	Powers
12	127	170141183…884105727	39	1876	Lucas
13	521	686479766…115057151	157	30 janvier 1952	Robinson (Swac)
14	607	531137992…031728127	183	30 janvier 1952	Robinson (Swac)
15	1 279	104079321…168729087	386	25 juin 1952	Robinson (Swac)
16	2 203	147597991…697771007	664	7 octobre 1952	Robinson (Swac)
17	2 281	446087557…132836351	687	9 octobre 1952	Robinson (Swac)
18	3 217	259117086…909315071	969	8 septembre 1957	Riesel (Besk)
19	4 253	190797007…350484991	1 281	3 novembre 1961	Hurwitz (IBM)
20	4 423	285542542…608580607	1 332	3 novembre 1961	Hurwitz (IBM)
21	9 689	478220278…225754111	2 917	11 mai 1963	Gillies (Illiac)
22	9 941	346088282…789463551	2 993	16 mai 1963	Gillies (Illiac)
23	11 213	281411201…696392191	3 376	2 juin 1963	Gillies (Illiac)
24	19 937	431542479…968041471	6 002	4 mars 1971	Tuckerman (IBM)
25	21 701	448679166…511882751	6 533	30 octobre 1978	Noll & Glenn (CDC)
26	23 209	402874115…779264511	6 987	9 février 1979	Noll (CDC)
27	44 497	854509824…011228671	13 395	8 avril 1979	Nelson & Slowinski (Cray)
28	86 243	536927995…433438207	25 962	25 septembre 1982	Slowinski (Cray)
29	110 503	521928313…465515007	33 265	28 janvier 1988	Colquitt & Welsh (Nec)
30	132 049	512740276…730061311	39 751	20 septembre 1983	Slowinski (Cray)
31	216 091	746093103…815528447	65 050	6 septembre 1985	Slowinski (Cray)
32	756 839	174135906…544677887	227 832	19 février 1992	Slowinski & Gage
33	859 433	129498125…500142591	258 716	10 janvier 1994	Slowinski & Gage
34	1 257 787	412245773…089366527	378 632	3 septembre 1996	Slowinski & Gage
35	1 398 269	814717564…451315711	420 921	13 novembre 1996	GIMPS / Joel Armengaud
36	2 976 221	623340076…729201151	895 932	24 août 1997	GIMPS / Gordon Spence
37	3 021 377	127411683…024694271	909 526	27 janvier 1998	GIMPS / Roland Clarkson
38	6 972 593	437075744…924193791	2 098 960	1^er juin 1999	GIMPS / Nayan Hajratwala
39	13 466 917	924947738…256259071	4 053 946	14 novembre 2001	GIMPS / Michael Cameron
40^*	20 996 011	125976895…855682047	6 320 430	17 novembre 2003	GIMPS / Michael Shafer
41^*	24 036 583	299410429…733969407	7 235 733	15 mai 2004	GIMPS / Josh Findley
42^*	25 964 951	122164630…577077247	7 816 230	18 février 2005	GIMPS / Martin Nowak
43^*	30 402 457	315416475…652943871	9 152 052	15 décembre 2005	GIMPS/ Cooper & Boone
44^*	32 582 657	124575026…053967871	9 808 358	4 septembre 2006	GIMPS/ Cooper & Boone

^* On ne sait pas s'il existe ou non un ou plusieurs nombres premiers de Mersenne non encore découverts entre le 39^e (M_13 466 917) et le 44^e (M_32 582 657). Ce classement est donc provisoire.