Mohrscher Trägheitskreis

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Mohrscher Trägheitskreis für die Hauptträgheitsmomente I₁ und I₂ (blau), sowie die Trägheitsmomente I_x,x, I_y,y und I_x,y unter dem Winkel φ (grün)

Der Mohrsche Trägheitskreis ist ein grafisches Verfahren zur Bestimmung der Flächenträgheitsmomente, die unter einem beliebigen Winkel zu den Hauptachsen der zugehörenden Fläche stehen. Das Verfahren wurde in früheren Jahren wegen seiner unkomplizierten Handhabung und wegen des Fehlens leistungsfähiger Rechenmaschinen geschätzt. Grafische Verfahren gelten heute in der Statik als veraltet. Sie besitzen aber immer noch mit ihrer Anschaulichkeit eine gewisse Bedeutung bei der Ausbildung von Ingenieuren. Der Mohrsche Trägheitskreis zeigt beispielsweise, dass bei den Hauptträgheitsmomenten I₁ und I₂ das zugehörende Zentrifugalmoment gleich Null ist. Unter einem Winkel von 45 Grad werden die beiden Trägheitsmomente I_x und I_y gleich groß und das entsprechende Zentrifugalmoment I_xy wird gleichzeitig maximal.

Der Kreis hat in Vektorschreibweise den Mittelpunkt R mit

und den Radius r mit

Die ermittelten Flächenträgheitsmomente dienen unter anderem zur Bestimmung der Biege- und Knicklasten in der Festigkeitslehre.

Der Mohrsche Trägheitskreis hat eine große Ähnlichkeit zum Mohrschen Spannungskreis, obwohl Spannungen und Trägheitsmomente zunächst nichts miteinander gemeinsam haben. Beide physikalischen Größen können jedoch mit der Tensorrechnung beschrieben werden, die auch die mathematischen Grundlage für die beiden Kreise liefert. Sowohl der Mohrsche Trägheitskreis als auch der Mohrsche Spannungskreis wurden erstmals von Christian Otto Mohr beschrieben.