Potentielle Energie

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Die potentielle Energie (oder potenzielle Energie) ist eine der Formen von Energie in der Physik. Es handelt sich dabei um diejenige Energie, die ein Körper durch seine Position in einem konservativen Kraftfeld (etwa einem Gravitationsfeld oder elektrischen Feld) innehat. Ein bestimmter Ort in diesem Feld dient dabei als Bezugsniveau; beim Gravitationsfeld der Erde ist dieses meistens die Erdoberfläche.
Die Begriffe Potential und potentielle Energie sind in der Mechanik nahezu gleichbedeutend und unterscheiden sich nur durch eine Konstante, wohingegen sie etwa in der Elektrodynamik verschiedene Bedeutung haben. Als Formelzeichen für die potentielle Energie wird üblicherweise V verwendet, in der Schulphysik überwiegend E_pot.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
- 1.1 Beispiele
2 Potentielle Energie und der Energieerhaltungssatz
3 Potentielle Energie in einem Gravitationsfeld
- 3.1 Maximale potentielle Energie
4 Potentielle Energie einer gespannten Feder
5 Siehe auch

[Bearbeiten] Definition

Da ein konservatives Kraftfeld $\mathbf F(\mathbf r)$ mathematisch ein Gradientenfeld ist, existiert ein skalares Feld $V(\mathbf r)$ , für das die Beziehung

$\mathbf F(\mathbf r) = -\nabla V(\mathbf r) \,$

gilt. Hierbei ist $\nabla$ der Nabla-Operator und $\mathbf r$ der Ortsvektor.

Für einzelne Komponenten des Feldes bedeutet dieses

$F_i(\mathbf r) = -\frac{\partial V(\mathbf r)}{\partial i} \quad , \quad i=x,y,z \,$ .

Dieses kann umgeformt werden zu

$-F_i(\mathbf r) \, \mathrm d i = \mathrm d V(\mathbf r) \,$

woraus für die potentielle Energie folgt

$-\int_{r_1}^{r^2}\mathbf F(\mathbf r) \mathrm d \mathbf r = V(\mathbf r) \,$ .

In der Elektrostatik ist das Potential des elektrischen Feldes $\mathbf E(\mathbf r)$

$-\int_\infty^r \mathbf E(\mathbf r') \mathrm d \mathbf r' = V (\mathbf r) \,$ .

Der Zusammenhang zwischen Potential $\Phi (\mathbf r)$ und potentieller Energie ist

für eine Ladung q

$\Phi (\mathbf r)=\frac{1}{q} V (\mathbf r) \,$

für eine Masse m

$\Phi (\mathbf r)=\frac{1}{m} V (\mathbf r) \,$ .

Die potentielle Energie entspricht in ihrer Größe der am Körper zu verrichtenden Arbeit, um vom Bezugsniveau die neue Lage zu erreichen. Bei reversiblen Vorgängen (keine Reibung) ist die potentielle gleich der kinetischen Energie, die der Körper gewänne, wenn er der Kraft bis auf das Bezugsniveau folgen, das heißt, sich frei bewegen könnte.

Um die potentielle Energie eines Körpers zu vergrößern, muss Arbeit gegen die Kräfte eines konservativen Kraftfeldes verrichtet werden. So besitzt jeder massebehaftete Körper in einem Gravitationsfeld potentielle Energie. Diese kann jedoch nur erhöht oder vermindert werden, wenn der Körper gegen oder in Richtung der Gravitationskraft verschoben wird.

Befindet sich der Körper auf Bezugsniveau, so ist die potentielle Energie gleich null.

[Bearbeiten] Beispiele

Ein Turmspringer vor dem Abspringen besitzt eine potentielle Energie (im Gravitationsfeld) gegenüber der Wasseroberfläche. Das Bezugsniveau kann aber auch auf den Grund des Beckens gelegt werden, dann hat der Springer entsprechend mehr potentielle Energie. Analog muss er mehr Arbeit aufwenden, um vom Grund auf das Sprungbrett zu kommen, als wenn er lediglich die Treppe am Turm hinaufläuft. Läuft er über das Sprungbrett an, verändert sich seine potentielle Energie nicht, da er keine Arbeit gegen die senkrecht nach unten wirkende Schwerkraft verrichtet.

Auch das in einem Stausee aufgestaute Wasser, ehe es durch Fallrohre hinabstürzt, oder eine Metallkugel zwischen zwei elektrisch geladenen Kondensatorplatten verfügen über potentielle Energie.

[Bearbeiten] Potentielle Energie und der Energieerhaltungssatz

In einem abgeschlossenen System ohne Energieaustausch mit der Umgebung und unter Vernachlässigung jedweder Reibung, gilt zu jedem Zeitpunkt der Energieerhaltungssatz der klassischen Mechanik:

$E = T + V = const. \,$

V = potentielle Energie
T = kinetische Energie
E = mechanische Energie

In Worten: Die Summe aus potentieller und kinetischer Energie, einschließlich der Rotationsenergie, ist konstant und entspricht der Gesamtenergie des mechanischen Systems.

In einer höheren Formulierung der Mechanik, dem Hamilton-Formalismus, schreibt man auch

$H =\sum_k p_k \dot q_k-L = T + V \,$

wobei H die Hamiltonfunktion und L die Lagrangefunktion sind.

[Bearbeiten] Potentielle Energie in einem Gravitationsfeld

Für die Funktion $V (r)$ der potentiellen Energie eines Massepunktes $m$ und der Masse $M$ eines sphärischen Himmelskörpers gilt allgemein

$dV(r) = -F \cdot dr = -\left(-\frac{GMm}{r^2}\right)\cdot dr = \frac{GMm}{r^2}\cdot dr \,$

Wobei $F$ die von dem Himmelskörpers auf den Massenpunkt ausgeübte Gravitationskraft und $d r$ eine infinitesimale Verschiebung der Höhe des Systems bezeichnen.

Wenn der Massenpunkt von einer Höhe $r 1$ zu einer Höhe $r 2$ gebracht wird, so ändert sich seine potentielle Energie um

$V(r_2)-V(r_1)=\int_{r_1}^{r_2} dV=\int_{r_1}^{r_2} \frac{GMm}{r^2}\, \mathrm{d}r=\frac{GMm}{r_1}-\frac{GMm}{r_2} \,$

Die potentielle Energie des Massenpunktes möge auf der Planetenoberfläche $R p$ , also $r 1 = R p$ , gleich null sein, womit

$V(r_2)-V(R_p)=V(r_2)-0=\frac{GMm}{R_p}-\frac{GMm}{r_2} \,$

ist.

Damit ergibt sich für eine beliebige Höhe $r$ mit $r > R p$

$V(r)=\frac{GMm}{R_p}-\frac{GMm}{r} \,$

Schreiben wir die potentielle Energie als Funktion einer Höhe $h = r - R p$ über der Planetenoberfläche, so ist sie vergleichbar mit $m g h$ .

Dann ist

$V(r)=\frac{GMm}{R_p}-\frac{GMm}{r}=\frac{GMm}{R_pr}\left(r-R_p\right)=\frac{GMm}{R_pr}h \,$

Mit der Schwerebeschleunigung $g=GM/R_p^2 \rightarrow GM=gR_p^2$ vereinfacht sich die Formel zu

$V(r)=\frac{GMm}{R_pr}h=m\left(\frac{GM}{R_p^2}\right)h\frac{R_p}{r}=m\left(\frac{gR_p^2}{R_p^2}\right)h\frac{R_p}{r}=mgh\frac{R_p}{r} \,$

Die potentielle Energie ist also ein $m g h$ -faches von $R p / r$ . In unmittelbarer Nähe der Erdoberfläche sind $R p$ und $r$ näherungsweise gleich, womit die potentielle Energie in einem solchen Fall mit $m g h$ approximiert wird. Es ist zu beachten, dass die potentielle Energie mit steigendem $r$ nicht unendlich anwächst, sondern vielmehr aus

$V(r)=\frac{GMm}{R_p}-\frac{GMm}{r} \,$

ersichtlich ist, dass der zweite Term dieser Gleichung mit steigendem $r$ gegen null strebt, weshalb sich die potentielle Energie einem maximalen Grenzwert der Größe

$V_{max}=\frac{GMm}{R_p}=mgR_p$ , mit $GM=gR_P^2 \,$

annähert.

[Bearbeiten] Maximale potentielle Energie

Um einen Massenpunkt $m$ um eine Strecke $d r$ anzuheben, muss die Arbeit $dW=F \cdot dr$ geleistet werden, wobei $F$ der Gravitationskraft des Planeten entspricht. Um den Massenpunkt von einer Planetenoberfläche $R$ aus dem Gravitationsfeld heraus, also in die Unendlichkeit, zu befördern, muss die maximale potentielle Energie des Gravitationsfeldes des Planeten gerade erreicht oder übertroffen werden. Für diese gilt also

$W=V_{max}=\int_{R}^{\infty} dW=\int_{R}^{\infty} \frac{GMm}{R^2}\, \mathrm{d}R=GMm\int_{R}^{\infty} \frac{1}{R^2}\, \mathrm{d}R=GMm\left[-\frac{1}{R}\right]^\infty_R=\frac{GMm}{R}=mgR \,$