Rydberg-Konstante

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Mit der Rydberg-Konstante R (benannt nach Johannes Rydberg) können die Wellenlängen der Spektrallinien von Atomen bestimmt werden. Dies geschieht mit der Formel

$\frac{1}{\lambda} = Z^2 R_\infty \left( \frac{1}{n_2^2} - \frac{1}{n_1^2} \right)$

wobei Z die Anzahl der Ladungsträger im Kern (für Wasserstoff ist Z=1) und $λ$ die Wellenlänge des vom Elektron emittierten Photons ist. Weiter bezeichnet n₁ die Quantenzahl des Orbits, von dem aus das Elektron in den tiefergelegenen Orbit n₂ übergeht - also etwa vom dritten Orbit n₁=3 in den zweiten n₂=2.

Formell setzt sie sich aus verschiedenen Naturkonstanten zusammen, mit

$R_\infty = \frac{1}{(4 \pi \epsilon_0)^2} \frac{m_e e^4}{4 \pi \hbar^3 c} = \frac{m_e e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3 c}$

wobei e die Elementarladung, h das Planck'sche Wirkungsquantum, m_e die Elektronenmasse, c die Lichtgeschwindigkeit und $ε 0$ die elektrische Feldkonstante sind.

Der Wert der Rydberg-Konstante wurde experimentell (im MKS-System) zu

$R_{\infty}= 1{,}097\;373\;156\;852\;5\left(73\right)\cdot10^7\ \mathrm{m}^{-1}$

bestimmt.

Häufig werden auch Rydberg Frequenz $R$ und die Rydberg Energie $R y$ als Rydberg-Konstante angegeben. Diese betragen

Rydberg Frequenz: $R = c R_\infty = 3{,}289\;841\;960\;\left(22\right) \cdot 10^{15} \ \mathrm{Hz}$
Rydberg Energie: $R_y=h R = h c R_\infty = 13{,}605\;692\;3\left(12\right) \ \mathrm{eV} = 1Ry$

Letzteres ist gerade die Ionisierungsenergie des Wasserstoffs und wird ein Rydberg der Energie genannt.

Da die Rydberg-Konstante von der Kernmasse M abhängig ist, ist sie für jedes Isotop eines Elements verschieden.

Die allgemeine Rydberg-Konstante ist

$R_M = \frac{R_{\infty}}{1+ \frac{m_e}{M}}$

mit der allgemeinen Formel

$\frac{1}{\lambda} = Z^2 \frac{R_{\infty}}{1+ \frac{m_e}{M}} \left( \frac{1}{n_2^2} - \frac{1}{n_1^2} \right)$

[Bearbeiten] Herleitung

Die Rydberg-Konstante lässt sich über die Bohrsche Bedingung, die Zentrifugalkraft, die Coulombkraft, und die elektrische potentielle Energie eines Elektrons im Orbit um ein Proton berechnen.

Die Bohrsche Bedingung ist

$2 \pi r = n \lambda \$

wobei $r$ der Radius des Elektronenorbits bezeichnet.
Für die Zentrifugalkraft gilt

$F_{C}= \frac{m v^2}{r}$
Coulombkraft zwischen Proton und Elektron

$F_{E}= \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r^2 }$
Die potentielle Energie im Abstand r zum Proton beträgt

$V = \int_\infty^r F_{E} \, \mathbf{dr} = - \frac {e^2}{ 4 \pi \epsilon_0 r}$

Mit der Beziehung von de Broglie $\lambda = \frac{h}{p} =\frac{h}{mv} \$ erhalten wir aus der Bohrschen Bedingung

$v = \frac {n h}{2 \pi r m} \$ (1)

Für eine stabile Bahn gilt klassisch

$F_{C} = F_{E} \$

$\frac{m v^2}{r} = \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r^2 } \$ (2)

Nach Einsetzen von (1) in diese Beziehung ergibt sich für den Radius

$r = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0 }{ \pi m e^2} \$ (3)

Unter den gemachten Annahmen sind dies also einzigen erlaubten Radien für ein sich um ein Proton bewegendes Elektron.

Außerdem folgt aus (2) für die Geschwindigkeit

$v^2 = \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 m r } \$ (4)

Wenn wir mit (3) und (4) die Gesamtenergie berechnen, finden wir

$E = T + V =\frac{1}{2}mv^2 - \frac {e^2}{ 4 \pi \epsilon_0 r}=\frac{e^2}{8 \pi\epsilon_0 r}- \frac {e^2}{ 4 \pi \epsilon_0 r}=-\frac{e^2}{8 \pi\epsilon_0 r}=-\frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^2}\cdot \frac{1}{n^2} \$

Jeder Orbit besitzt demnach eine bestimmte potenzielle und kinetische Energie, sodass bei einer Änderung des Orbits von n₁ nach n₂ auch eine Energieänderung stattfindet. Diese Änderung ist gerade

$\Delta E = \frac{ m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^2} \left( \frac{1}{n_2^2} - \frac{1}{n_1^2} \right) \$

Oder mit

$\Delta{E} = \frac{hc}{\Delta\lambda}$

als Wellenlängenänderung geschrieben

$\frac{1}{\Delta \lambda} = \frac{ m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3 c} \left( \frac{1}{n_2^2} - \frac{1}{n_1^2} \right) \$ .

Da hier ein e² die Ladung des Kerns repräsentiert, muss für allgemeine Atome die Kernladungszahl Z hinzugefügt werden. Damit gilt

$\frac{1}{\Delta \lambda} = \frac{Z^2 m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3 c} \left( \frac{1}{n_2^2} - \frac{1}{n_1^2} \right) \$ .

Die Rydberg-Konstante von Wasserstoff ist daher gerade

$R = \frac{ m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3 c}$ .

Dieses Ergebnis wurde erstmals von Niels Bohr als Folgerung seines Atommodells bestimmt.

Für den genauen Wert von R bzw. der Energieniveaus des Wasserstoffs muss die Mitbewegung des Kerns berücksichtigt werden, weshalb die Elektronenmasse durch die reduzierte Masse µ ersetzt wird.