Vikipedio:Projekto matematiko/Ejnŝtejna skribmaniero

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Ejnŝtejna skribmaniero
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

Por aliaj temoj rilatanta al Ejnŝtejno, vidi Ejnŝtejno (apartigilo).

En matematiko, aparte en aplikoj de lineara algebro al fiziko, la Ejnŝtejna skribmaniero aŭ Ejnŝtejna sumada konvencio estas _notational_ konvencio utila kiam kontraktanta kun koordinataj formuloj.

Laŭ ĉi tiu konvencio, kiam indekso (variablo, varianta) (aperas, ŝajnas, aspektas) dufoje en sola (termo, membro, flanko, termino), iam en supra kaj iam en suba pozicio, ĝi (implicas, enhavas) (tiu, ke, kiu) ni estas sumanta super ĉiuj de ĝia ebla (valoroj, valoras). En tipaj aplikoj, ĉi tiuj estas 1,2,3 (por kalkuloj en Eŭklida spaco), aŭ 0,1,2,3 aŭ 1,2,3,4 (por kalkuloj en Spaco de Minkowski), sed ili povas havi (ĉiu, iu) limigo, (eĉ, ebena, para) (en iuj aplikoj) malfinia aro. Abstrakta indeksa skribmaniero estas plibonigo de Ejnŝtejna skribmaniero.

En fizika relativeco, la Greka alfabeto kaj la Roma alfabeto estas uzitaj al (distingi, diferencigi) ĉu sumanta super 1,2,3 aŭ 0,1,2,3 (kutime Roma, mi, j, ... por 1,2,3 kaj Greko, μ, ν, ... por 0,1,2,3). Kiel en signaj konvencioj, la konvencio uzita en praktiko (varias, ŝanĝiĝas): Roma kaj Greko (majo, povas) esti dorsflankita.

Iam (kiel en fizika relativeco), la indekso estas postulita al aperi iam kiel supra indico kaj iam kiel suba indico; en aliaj aplikoj, ĉiuj indeksoj estas subaj indicoj. Vidi Duala vektora spaco kaj Tensora produto.

Ĝi estas grava al postrestigi menso (tiu, ke, kiu) ne novaj fizikaj leĝoj aŭ (ideoj, ideas) rezulto de uzanta Ejnŝtejna skribmaniero; iom, ĝi nure helpas en identigantaj interrilatoj kaj simetrioj ofte 'latenta' per pli kutima (notacio, skribmaniero).

[redaktu] Enkonduko

En mekaniko kaj inĝenierado, (vektoroj, vektoras) en 3D spaco estas ofte priskribita en rilato al perpendikularaj unuoblaj vektoroj mi, j kaj k.

$\mathbf{u} = u_x \mathbf{i} + u_y \mathbf{j} + u_z \mathbf{k}$

Se la bazvektoroj mi, j, kaj k estas anstataŭe esprimita kiel e₁, e₂, kaj e₃, vektoro povas esti esprimita en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de sumado:

$\mathbf{u} = u_1 \mathbf{e}_1 + u_2 \mathbf{e}_2 + u_3 \mathbf{e}_3 = \sum_{i = 1}^3 u_i \mathbf{e}_i$

En Ejnŝtejna skribmaniero, indeksa tio estas ripetita dufoje en ekvacio (implicas, enhavas) sumado, kaj la sumada simbolo (bezoni, bezono, necesa) ne esti inkluzivita.

Ĉi tiu permesas (lakona, konciza) algebra (surscenigo, prezento) de vektoro kaj tensoraj ekvacioj. Ekzemple,

$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i = 1}^3 u_i \mathbf{e}_i \cdot \sum_{j = 1}^3 v_j \mathbf{e}_j = u_i \mathbf{e}_i \cdot v_j \mathbf{e}_j$

aŭ ekvivalente:

$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i = 1}^3 \sum_{j = 1}^3 u_i v_j ( \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j ) = u_i v_j ( \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j )$

kie

$\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j = \delta_{ij}$

kaj $\ \delta_{ij}$ estas la Delto de Kronecker, kiu estas egala al 1 kiam mi = j, kaj 0 alie. Ĝi logike sekvas (tiu, ke, kiu) ĉi tiu permesas unu j en la ekvacio al esti konvertita al mi, aŭ unu mi al esti konvertita al j. Tiam,

$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_i v_j\delta_{ij}= u_i v_i = u_j v_j$

Por la kruci (produkto, produto),

$\mathbf{u} \times \mathbf{v}= \sum_{j = 1}^3 u_j \mathbf{e}_j \times \sum_{k = 1}^3 v_k \mathbf{e}_k = u_j \mathbf{e}_j \times v_k \mathbf{e}_k = u_j v_k (\mathbf{e}_j \times \mathbf{e}_k ) = \epsilon_{ijk} \mathbf{e}_i u_j v_k$

kie $\mathbf{e}_j \times \mathbf{e}_k = \epsilon_{ijk} \mathbf{e}_i$ kaj $\ \epsilon_{ijk}$ estas la Simbolo de Levi-Civita difinis per:

$\epsilon_{ijk} = \left\{ \begin{matrix} +1 & \mbox{if } (i,j,k) \mbox{ is } (1,2,3), (2,3,1) \mbox{ or } (3,1,2)\\ -1 & \mbox{if } (i,j,k) \mbox{ is } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ or } (2,1,3)\\ 0 & \mbox{otherwise: }i=j \mbox{ or } j=k \mbox{ or } k=i \end{matrix} \right.$

kiu reakiras

$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = (u_2 v_3 - u_3 v_2) \mathbf{e}_1 + (u_3 v_1 - u_1 v_3) \mathbf{e}_2 + (u_1 v_2 - u_2 v_1) \mathbf{e}_3$

$\mathbf{u} \times \mathbf{v}= \epsilon_{ijk} \mathbf{e}_i u_j v_k = \sum_{i = 1}^3 \sum_{j = 1}^3 \sum_{k = 1}^3 \epsilon_{ijk} \mathbf{e}_i u_j v_k$ .

(Cetere, Aldone), se $\mathbf{w} = \mathbf{u} \times \mathbf{v}$ , tiam $\mathbf{w} = \epsilon_{ijk} \mathbf{e}_i u_j v_k$ kaj $\ w_i = \epsilon_{ijk} u_j v_k$ . Ĉi tiu ankaŭ emfazas (tiu, ke, kiu) kiam indekso (aperas, ŝajnas, aspektas) iam sur ambaŭ flankoj de la ekvacio, ĉi tiu (implicas, enhavas) (ekvaciaro, sistemo) anstataŭ sumado:

$\begin{matrix} w_1 = \epsilon_{1jk} u_j v_k\\ w_2 = \epsilon_{2jk} u_j v_k\\ w_3 = \epsilon_{3jk} u_j v_k \end{matrix}$

Alternative, ĉi tiu povis esti esprimita kiel

$\mathbf{u} \times \mathbf{v}= \mathbf{u} \cdot \epsilon \cdot \mathbf{v}$

sed, ĉi tiu _isn_'t la (notacio, skribmaniero) Ejnŝtejno uzita.

[redaktu] Abstrakta (difinoj, difinas)

En la tradicia uzado, unu havas en mensa vektora spaco V kun finia dimensio n, kaj specifa bazo de V. Ni povas skribi la bazvektoroj kiel e₁, e₂, ..., e_n. Tiam se v estas vektoro en V, ĝi havas (koordinatoj, koordinatas) v₁, ..., v_n relativa al ĉi tiu bazo.

La baza regulo estas:

v = v_mi e_mi.

En ĉi tiu esprimo, ĝi estis alprenita (tiu, ke, kiu) la (termo, membro, flanko, termino) dekstre flanko estis al esti sumita kiel mi iras de 1 al n, ĉar la indekso mi ne aperi sur ambaŭ flankoj de la esprimo. (Aŭ, uzanta Ejnŝtejna konvencio, ĉar la indekso mi aperita dufoje.)

La mi estas sciata kiel suĉila indekso ekde la rezulto estas ne dependa sur ĝi; tial ni povita ankaŭ skribi, ekzemple:

v = v_j e_j.

Indeksa tio estas ne sumita super estas libera indekso kaj devus troviĝi en ĉiu (termo, membro, flanko, termino) de la ekvacio aŭ formulo.

En ĉirkaŭtekstoj kie la indekso devas aperi iam kiel suba indico kaj iam kiel supra indico, la bazvektoroj e_mi reteni subaj indicoj sed la (koordinatoj, koordinatas) iĝi v^mi kun supraj indicoj. Tiam la baza regulo estas:

v = v^mi e_mi.

La valoro de la Ejnŝtejna konvencio estas (tiu, ke, kiu) ĝi aplikas al aliaj vektoraj spacoj konstruita de V uzanta la tensora produto kaj duvarianteco. Ekzemple, $V\otimes V$ , la tensora produto de V kun sin, havas bazo konsistanta de (tensoroj, tensoras) de la (formo, formi) $\mathbf{e}_{ij} = \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j$ . (Ĉiu, Iu) tensoro T en $V\otimes V$ povas esti skribita kiel:

$\mathbf{T} = T^{ij}\mathbf{e}_{ij}$ .

V*, la duala de V, havas bazo e¹, e², ..., eⁿ kiu obeas la regulo

$\mathbf{e}^i (\mathbf{e}_j) = \delta_{i}^j$ .

Ĉi tie δ estas la Delto de Kronecker, (do, tiel) $\delta_{i}^j$ estas 1 se mi =j kaj 0 alie.

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)

Ejnŝtejna sumado estas klarigita kun la helpi de kelkaj simpla (ekzemploj, ekzemplas). Konsideri kvar-dimensia spactempo, kie indeksoj kuri de 0 al 3:

a μ b μ = a 0 b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3

a μν b μ = a 0ν b 0 + a 1ν b 1 + a 2ν b 2 + a 3ν b 3 .

La pli supre ekzemplo estas unu de kuntiro, komuna tensora operacio. La tensoro $a μν b α$ iĝas nova tensoro per sumanta super la unua supra indekso kaj la suba indekso. Tipe la rezultanta tensoro estas (rebaptita, renomita) kun la kontraktis indeksoj forprenis:

s ν = a μν b μ .

Por familiara ekzemplo, konsideri la skalara produto de du (vektoroj, vektoras) a kaj b. La skalara produto estas difinita simple kiel sumado super la indeksoj de a kaj b:

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_{\alpha}b^{\alpha} = a^0 b_0 + a^1 b_1 + a^2 b_2 + a^3 b_3,$

kiu estas nia familiara formulo por la vektora skalara produto. Memori ĝi estas iam necesa al ŝanĝi la (komponantoj, komponantas) de a por ke suba ĝia indekso; tamen, ĉi tiu estas ne necesa en Eŭklida spaco, aŭ (ĉiu, iu) spaco kun metriko egala al ĝia inversa metriko (e.g., (plata, apartamento) spactempo).

[redaktu] _Miscellanea_

En iuj kampoj, Ejnŝtejna skribmaniero estas referita al simple kiel indekso (notacio, skribmaniero). Indekso ripetis tri aŭ pli (tempoj, tempas) (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) estas eraro ie.

[redaktu] Vidi ankaŭ

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Ejn%C5%9Dtejna_skribmaniero_5cfb.html"

Vikipedio:Projekto matematiko/Ejnŝtejna skribmaniero

El Vikipedio

Enhavo

[redaktu] Enkonduko

[redaktu] Abstrakta (difinoj, difinas)

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)

[redaktu] _Miscellanea_

[redaktu] Vidi ankaŭ

Views

Navigado

Serĉu

Aliaj lingvoj