Vikipedio:Projekto matematiko/Lemo de Zorn
El Vikipedio
 |
Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Lemo de Zorn (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi. |
Lemo de Zorn, ankaŭ sciata kiel la Kuratowski-a-_Zorn_ lemo, estas teoremo de aroteorio (tiu, ke, kiu) ŝtatoj:
Ĉiu ne-malplena parte orda aro en kiu ĉiu ĉeno (kio estas tutece (mendita, ordita) subaro) havas supera baro enhavas almenaŭ unu maksimuma ero.
Ĝi estas nomita post la matematikisto (Maks, Maksimuma) _Zorn_.
La (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) estas difinita kiel sekvas. Supozi (P,≤) estas la parte orda aro. Subaro T estas tutece (mendita, ordita) se por (ĉiu, iu) s, t ∈ T ni havi ĉu s ≤ t aŭ t ≤ s. Tia aro T havas supera baro u ∈ P se t ≤ u por ĉiuj t ∈ T. (Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) u estas ero de P sed (bezoni, bezono, necesa) ne esti ero de T. maksimuma ero de P estas ero m ∈ P tia (tiu, ke, kiu) la nur ero x ∈ P kun m ≥ x estas x = m sin.
Ŝati la bona orda teoremo, Lemo de Zorn estas ekvivalento al la aksiomo de elekto, en la (senso, senco) (tiu, ke, kiu) ĉu unu kaj ankaŭ la _Zermelo_-_Fraenkel_ (aksiomoj, aksiomas) de aroteorio estas sufiĉa al pruvi la alia. Ĝi okazas en la pruvoj de kelkaj (teoremoj, teoremas) de krita graveco, ekzemple la _Hahn_-Banaĥa teoremo en funkcionala analitiko, la teoremo (tiu, ke, kiu) ĉiu vektora spaco havas bazo, Teoremo de Tychonoff en topologio (ŝtatanta, statanta) (tiu, ke, kiu) ĉiu (produkto, produto) de kompaktaj spacoj estas kompakta, kaj la (teoremoj, teoremas) en abstrakta algebro (tiu, ke, kiu) ĉiu ringo havas maksimuma idealo kaj (tiu, ke, kiu) ĉiu kampo havas tegaĵo.
Enhavo |
[redaktu] An ekzempla apliko
Ni estos iri super tipa apliko de Lemo de Zorn: la pruvo (tiu, ke, kiu) ĉiu ringo R enhavas maksimuma idealo. La aro P ĉi tie konsistas de ĉiuj (duflanka) (idealoj, idealas) en R, escepti R sin. Ĉi tiu aro estas parte (mendita, ordita) per ara inkluziveco. Ni estas farita se ni povas trovi maksimuma ero en P. La idealo R estis ekskludita ĉar maksimumaj idealoj per difino estas ne egala al R.
Ni bezono al apliki Lemo de Zorn, kaj (do, tiel) ni preni tutece (mendita, ordita) subaro T de P kaj devi montri (tiu, ke, kiu) T havas supera baro, kio estas (tiu, ke, kiu) tie ekzistas idealo Mi ⊆ R kiu estas pli granda ol ĉiuj (membroj, membras) de T sed ankoraŭ (pli minuskla, pli malgranda) ol R (alie ĝi devus ne furori P). Ni preni Mi al esti la unio de ĉiu (idealoj, idealas) en T. Mi estas idealo: se a kaj b estas eroj de Mi, tiam tie ekzisti du (idealoj, idealas) J, K ∈ T tia (tiu, ke, kiu) a estas ero de J kaj b estas ero de K. Ekde T estas tutece (mendita, ordita), ni scii (tiu, ke, kiu) J ⊆ K aŭ K ⊆ J. En la unua (kesto, okazo), ambaŭ a kaj b estas (membroj, membras) de la idealo K, pro tio ilia (sumo, sumi) a + b estas membro de K, kiu montras (tiu, ke, kiu) a + b estas membro de Mi. En la (sekundo, dua) (kesto, okazo), ambaŭ a kaj b estas (membroj, membras) de la idealo J, kaj ni konkludi simile (tiu, ke, kiu) a + b ∈ Mi. Plue, se r ∈ R, tiam ar kaj rao estas eroj de J kaj de ĉi tie eroj de Mi. Ni havi montrita (tiu, ke, kiu) Mi estas idealo en R.
Nun venas la koro de la pruvo: kial estas Mi (pli minuskla, pli malgranda) ol R? La krita observado estas (tiu, ke, kiu) idealo estas egala al R se kaj nur se ĝi enhavas 1. (Ĝi estas klara (tiu, ke, kiu) se ĝi estas egala al R, tiam ĝi devas enhavi 1; aliflanke, se ĝi enhavas 1 kaj r estas ajna ero de R, tiam _r1_ = r estas ero de la idealo, kaj (do, tiel) la idealo estas egala al R.) (Do, Tiel), se Mi estita egala al R, tiam ĝi devus enhavi 1, kaj (tiu, ke, kiu) (meznombroj, meznombras, signifas) unu de la (membroj, membras) de T devus enhavi 1 kaj devus tial esti egala al R - sed ni eksplicite ekskludita R de P.
La kondiĉo de Lemo de Zorn havas estas (kontrolita, kontrolis), kaj ni tial preni maksimuma ero en P, en alia (vortoj, vortas) maksimuma idealo en R.
(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) la pruvo dependas sur la fakto (tiu, ke, kiu) nia ringo R havas multiplika unuo 1. Sen ĉi tiu, la pruvo _wouldn_'t laboro kaj ja la (propozicio, frazo, ordono) devus esti malvera.
[redaktu] Skizi de la pruvo de Lemo de Zorn
Skizi de la pruvo de Lemo de Zorn sekvas. Supozi la lemo estas malvera. Tiam tie ekzistas parte orda aro, aŭ parte orda aro, P tia (tiu, ke, kiu) ĉiu tutece (mendita, ordita) subaro havas supera baro, kaj ĉiu ero havas pli granda unu. Por ĉiu tutece (mendita, ordita) subaro T ni (majo, povas) tiam difini pli granda ero b(T), ĉar T havas supera baro, kaj (tiu, ke, kiu) supera baro havas pli granda ero. Al reale difini la funkcio b, ni (bezoni, bezono, necesa) al dungi la aksiomo de elekto.
Uzanta la funkcio b, ni estas iranta al difini eroj a0 < a1 < a2 < a3 < ... en P. Ĉi tiu vico estas (reale, reele) longa: la indeksoj estas ne (justa, ĵus) la naturaj nombroj, sed ĉiuj ordaj numeraloj. Fakte, la vico estas ankaŭ sopiri la aro P; estas ankaŭ multaj ordaj numeraloj, pli ol estas eroj en (ĉiu, iu) aro, kaj la aro P estos esti lacega antaŭ longa kaj tiam ni estos kolizii la deziris kontraŭdiro.
La a's estas difinita per _transfinite_ indukto: ni (preno, preni) a0 en P ajna (ĉi tiu estas ebla, ekde P enhavas supera baro por la malplena aro kaj estas tial ne malplena) kaj por (ĉiu, iu) alia orda numeralo w ni aro aw = b({av: v < w}). Ĉar la av estas tutece (mendita, ordita), ĉi tiu (laboroj, laboras) (justa, ĵus) monpuno.
Ĉi tiu pruvo montras (tiu, ke, kiu) reale malmulte pli forta versio de Lemo de Zorn estas vera:
- Se P estas parte orda aro en kiu ĉiu bonorda subaro havas supera baro, kaj se x estas (ĉiu, iu) ero de P, tiam P havas maksimuma era tio estas pli granda ol aŭ egala al x. Tio estas, estas maksimuma ero kiu estas komparebla al x.
[redaktu] Historio
Lemo de Zorn estis unua esplorita per K. Kuratowski-a en 1922, kaj sendepende per (Maks, Maksimuma) _Zorn_ en 1935.
[redaktu] Referencoj
- Ara Teorio por la Laborante Matematikisto. _Ciesielski_, _Krzysztof_. Kembriĝo (Britio) Universitato Premi, 1997. ISBN 0521594650
