Lemat Kuratowskiego-Zorna

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Przeprowadzana jest gruntowna przebudowa tego artykułu.

Pomoc jest mile widziana. Wikipedysta loxley.

Lemat Kuratowskiego-Zorna – jedno z podstawowych narzędzi dowodzenia twierdzeń, które stwierdzają istnienie pewnych obiektów w teorii mnogości i innych działach matematyki. W krajach anglosaskich bardziej znany jako Lemat Zorna. Oto jedno ze sformułowań lematu:

Każdy niepusty zbiór częściowo uporządkowany, w którym każdy łańcuch (tzn. podzbiór liniowo uporządkowany) ma ograniczenie górne, zawiera co najmniej jeden element maksymalny.

Definicje pojęć: Załóżmy, że $(P,\ \le)$ jest zbiorem częściowo uporządkowanym. Podzbiór $T\$ jest liniowo uporządkowany, jeśli dla każdych $s,\ t\in T$ zachodzi $s \le t$ lub $t\le s$ . Taki zbiór $T\$ ma górne ograniczenie $u\in P$ , jeśli $t \le u$ dla każdego $t\in T$ . Element maksymalny zbioru $P\$ to takie $\ m$ , że jedynym elementem $x\in P$ , dla którego $m \le x$ jest właśnie $\ x=m$ .

Lemat Kuratowskiego-Zorna jest równoważny aksjomatowi wyboru, w takim sensie, że każdy z nich można udowodnić przy pomocy drugiego i z użyciem aksjomatów Zermelo-Fraenkela z teorii mnogości. Jest to prawdopodobnie najbardziej użyteczny równoważnik aksjomatu wyboru i występuje w dowodach kilku twierdzeń o podstawowym znaczeniu. Ogólniej, istnieje większa liczba twierdzeń równoważnych Lematowi Kuratowskiego-Zorna, pojęciowo związanych nie tylko z teorią mnogości:

Pewnik wyboru
Jeśli $| A |$ jest zbiorem nieskończonym o mocy $κ$ , to zbiór $A\times A$ jest mocy $κ$ .
Prawo trychotomii: Dla dowolnych zbiorów $A, B$ : $| A | = | B |$ albo $| A | > | B |$ albo $| A | < | B |$ .
Iloczyn kartezjański dowolnej rodziny zbiorów niepustych jest niepusty.
Twierdzenie Königa: Jeśli $I$ jest zbiorem oraz $\mathfrak{m}_i, \mathfrak{n}_i$ są takimi liczbami kardynalnymi, że dla każdego $i\in I$ spełniona jest nierówność $\mathfrak{m}_i< \mathfrak{n}_i$ , wówczas

$\sum_{i\in I}\mathfrak{m}_i<\prod_{i\in I}\mathfrak{n}_i$ .

Lemat Teichmüllera-Tukeya: Niech $\mathcal{W}$ będzie własnością charakteru skończonego, mogącą przysługiwać podzbiorom pewnego zbioru $A$ . Każdy podzbiór zbioru $A$ mający własność $\mathcal{W}$ jest zawarty w maksymalnym ze względu na inkluzję podzbiorze $A$ , mającym własność $\mathcal{W}$ .
Twierdzenie Hausdorffa.
Każda przestrzeń liniowa ma bazę.
Każdy pierścień ma ideał maksymalny.
Twierdzenie Tichonowa: iloczyn przestrzeni zwartych jest zwarty.

Przykłady:

twierdzenie Hahna-Banacha w analizie funkcjonalnej.
twierdzenie algebry uniwersalnej mówiące, że każde ciało ma domknięcie algebraiczne.

Spis treści

1 Przykład zastosowania
2 Szkic dowodu lematu Kuratowskiego-Zorna
- 2.1 Historia
3 Bibliografia
4 Zobacz też

[edytuj] Przykład zastosowania

Przyjrzyjmy się typowemu zastosowaniu lematu, użytego do udowodnienia, że każdy pierścień $R$ zawiera ideał maksymalny. Nasz zbiór $P$ składa się ze wszystkich (dwustronnych) ideałów $R$ , z wyjątkiem samego $R$ . Zbiór $P$ jest częściowo uporządkowany relacją zawierania podzbiorów. Nasz dowód będzie polegał na znalezieniu maksymalnego elementu z $P$ . Ideał $R$ został wykluczony, ponieważ ideały maksymalne z definicji nie są równe $R$ .

Chcemy użyć lematu Kuratowskiego-Zorna, więc bierzemy $T$ - liniowo uporządkowany podzbiór $P$ i musimy pokazać, że $T$ ma ograniczenie górne, czyli, że istnieje ideał $I$ w $R$ , który jest większy niż wszystkie elementy $T$ , ale mniejszy niż $R$ (inaczej nie byłby w $P$ ). Niech $I$ będzie sumą wszystkich ideałów z $T$ . $I$ jest ideałem: jeśli $a$ i $b$ są elementami $I$ , to istnieją dwa ideały $J$ i $K$ w $T$ takie, że $a\in J$ i $b\in K$ . Ponieważ $T$ jest uporządkowane liniowo to wiemy, że $J$ jest podzbiorem $K$ lub odwrotnie. W pierwszym przypadku, zarówno $a$ jak $b$ są elementami ideału $K$ , stąd ich suma $a + b$ jest elementem $K$ co pokazuje, że $a + b$ jest elementem $I$ . W drugim przypadku, i $a$ i $b$ są elementami ideału $J$ . Podobnie dochodzimy do wniosku, że $a + b$ jest zawarte w $I$ . Co więcej, jeśli $R$ jest elementem $R$ , wtedy $a r$ i $r a$ są elementami $J$ , a więc również elementami $I$ . Pokazaliśmy, że $I$ jest ideałem w $R$ .

A oto istota dowodu: dlaczego $I$ jest mniejsze niż $R$ ? Decydujące jest to, że ideał jest równy $R$ wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera $\mathbf{1}$ (Jest jasne, że jeśli jest równe $R$ , to musi zawierać $\mathbf{1}$ , z drugiej strony, jeśli zawiera $\mathbf{1}$ i $R$ jest dowolnym elementem $R$ , to $r\mathbf{1} = R$ jest elementem ideału, a więc ideał jest równy $R$ ). Więc jeśli $I$ byłoby równe $R$ , to zawierałoby $\mathbf{1}$ , a to oznacza, że jeden z elementów zbioru $T$ zawierałby $\mathbf{1}$ co czyniłoby go równym $R$ - ale jawnie wykluczyliśmy $R$ z $P$ .

Sprawdzone zostało założenie lematu, a w wyniku otrzymaliśmy maksymalny element w $P$ , innymi słowy maksymalny ideał w $R$ .

Zauważmy, że dowód opiera się na fakcie, że $R$ jest pierścieniem z jedynką. Bez tego nie moglibyśmy przeprowadzić dowodu, i tak naprawdę zdanie, którego dowodziliśmy byłoby fałszywe.

[edytuj] Szkic dowodu lematu Kuratowskiego-Zorna

Przypuśćmy, że lemat jest fałszywy. Wtedy istnieje częściowo uporządkowany zbiór (inaczej poset) $P$ , taki że każdy liniowo uporządkowany podzbiór ma ograniczenie górne a dla każdego elementu istnieje element większy. Dla każdego liniowo uporządkowanego podzbioru $T$ możemy zdefiniować element większy $b (T)$ , ponieważ $T$ ma ograniczenie górne, a to ograniczenie ma element większy. Aby w pełni zdefiniować funkcję $b$ , trzeba zastosować aksjomat wyboru.

Używając funkcji $b$ , zdefiniujemy elementy $a_0 < a_1 < a_2 < a_3 < \dots$ w $P$ . Ten ciąg jest bardzo długi, indeksy nie są liczbami naturalnymi, lecz wszystkimi liczbami porządkowymi. Ciąg ten jest zbyt długi dla zbioru $P$ , liczb porządkowych jest więcej niż elementów w dowolnym zbiorze, więc zbiór $P$ szybko zostanie wyczerpany i osiągniemy potrzebną nam sprzeczność. Elementy $a i$ są definiowane przez indukcję pozaskończoną: wybieramy dowolne $a 0$ z $P$ (jest to możliwe, bo $P$ zawiera ograniczenie górne dla zbioru pustego i dlatego nie jest pusty) i dla każdej liczby porządkowej $w$ przyporządkowujemy $a w = b ({a v : v < w})$ . Ponieważ $a v$ są uporządkowane liniowo, więc jest to możliwe.

Ten dowód pokazuje, że prawdziwa jest nawet nieco silniejsza wersja lematu: Jeśli $P$ jest zbiorem częściowo uporządkowanym, w którym każdy dobrze uporządkowany podzbiór ma ograniczenie górne, i jeśli $x$ jest dowolnym elementem $P$ , to $P$ ma element maksymalny, który jest większy lub równy $x$ . To znaczy istnieje element maksymalny porównywalny z $x$ .