Vikipedio:Projekto matematiko/Potencoserio

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Potencoserio
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, potencoserio (en unu (variablo, varianta)) estas malfinia serio de la (formo, formi)

$f(x)\,$	$= \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n$
	$= a_0 + a_1 (x-c) + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots$

kie la koeficientoj a_n, la centro c, kaj la argumento x estas kutime (reala, reela) aŭ kompleksaj nombroj. Ĉi tiu serio kutime ekesti kiel la Serio de Taylor de iu sciata funkcio; la Serio de Taylor artikolo enhavas multaj (ekzemploj, ekzemplas).

En multaj (situacioj, situacias), la centro c estas egala al nulo, ekzemple kiam konsideranta _Maclaurin_ serio. En tia (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas), la potencoserio prenas la pli simpla (formo, formi)

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots.$

Ĉi tiu potencoserio ekesti unuavice en analitiko, sed ankaŭ okazi en kombinatoriko (sub la nomo de generantaj funkcioj) kaj en elektra inĝenierado (sub la nomo de la Z-konverto). La familiara dekuma skribmaniero por (entjeroj, entjeras) povas ankaŭ esti vidita kiel ekzemplo de potencoserio, sed kun la argumento x (fiksis, neŝanĝebligita) je 10. En nombroteorio, la koncepto de p-_adic_ nombroj estas ankaŭ proksime rilatanta al (tiu, ke, kiu) de potencoserio.

Enhavo

1 (Ekzemploj, Ekzemplas)
2 Konverĝ(o)radiuso
3 (Operacioj, Operacias) sur potencoserio
4 Analitikaj funkcioj
5 Formala potencoserio
6 Potencoserio en kelkaj (variabloj, variablas)
7 (Mendi, Ordo) de potencoserio

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)

(Ĉiu, Iu) polinomo povas esti facile esprimita kiel potencoserio ĉirkaŭ (ĉiu, iu) centro c, _albeit_ unu kun plej koeficientoj egala al nulo. Ekzemple, la polinomo $f (x) = x 2 + 2 x + 3$ povas esti skribita kiel potencoserio ĉirkaŭ la centro $c = 0$ kiel

$f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \cdots \,$

aŭ ĉirkaŭ la centro $c = 1$ kiel

$f(x) = 6 + 4 (x-1) + 1(x-1)^2 + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \cdots \,$

aŭ ja ĉirkaŭ (ĉiu, iu) alia centro c. Unu povas vida potencoserio kiel estante ŝati "(polinomoj, polinomas) de malfinia grado," kvankam potencoserio estas ne (polinomoj, polinomas).

La geometria seria formulo

$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots,$

kiu estas valida por $| x | < 1$ , estas unu de la plej grava (ekzemploj, ekzemplas) de potencoserio, kiel estas la eksponenta funkcia formulo

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots.$

Ĉi tiu potencoserio estas ankaŭ (ekzemploj, ekzemplas) de Serio de Taylor. Tamen, tie ekzisti potencoserio kiu estas ne la Serio de Taylor de (ĉiu, iu) funkcio, ekzemple

$\sum_{n=0}^\infty n! x^n = 1 + x + 2! x^2 + 3! x^3 + \cdots.$

Negativa (potencoj, potencas, kardinaloj, kardinalas, povoj, povas) estas ne (konsentita, permesita) en potencoserio, ekzemple $1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots$ estas ne (konsiderita, konsideris) potencoserio (kvankam ĝi estas _Laurent_ serio). Simile, frakcia (potencoj, potencas, kardinaloj, kardinalas, povoj, povas) kiel $x 1 / 2$ estas ne (konsentita, permesita) (sed vidi _Puisieux_ serio). La koeficientoj $a n$ estas ne permesita al dependi sur $x$ , tial ekzemple:

$\sin(x) x + \sin(2x) x^2 + \sin(3x) x^3 + \cdots \,$ estas ne potencoserio.

[redaktu] Konverĝ(o)radiuso

Potencoserio estos konverĝi por iu (valoroj, valoras) de la (variablo, varianta) x (almenaŭ por x = c) kaj (majo, povas) (diverĝi, malkonverĝi) por aliaj. Ĝi (kurbiĝoj, kurbiĝas, turnas, tornas, kurbigas) ekster (tiu, ke, kiu) estas ĉiam nombro r kun 0 ≤ r ≤ ∞ tia (tiu, ke, kiu) la serio konverĝas ĉiam |x − c| < r kaj (diverĝas, malkonverĝas) ĉiam |x − c| > r. La nombro r estas (nomita, vokis) la konverĝ(o)radiuso de la potencoserio; en ĝenerala ĝi estas donita kiel

$r=\liminf_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{-\frac{1}{n}}$

(vidi lim _inf_) sed rapida vojo al komputi ĝi estas

$r=\lim_{n\to\infty}\left|{a_n \over a_{n+1}}\right|.$

La lasta formulo estas valida nur se la limigo ekzistas. La antaŭa formulo estas ĉiam (ĝusta, ĝustigi, korekti).

La serio konverĝas absolute por |x - c| < r kaj konverĝas unuforme sur ĉiu kompakta subaro de {x : |x − c| < r}.

Por |x - c| = r, ni ne povas fari (ĉiu, iu) ĝenerala (propozicio, frazo, ordono) sur ĉu la serio konverĝas aŭ (diverĝas, malkonverĝas). Tamen, Abelaj teoremaj ŝtatoj (tiu, ke, kiu) la (sumo, sumi) de la serio estas kontinua je x se la serio konverĝas je x.

[redaktu] (Operacioj, Operacias) sur potencoserio

[redaktu] Aldono kaj subtraho

Kiam du funkcioj f kaj g estas malkomponita enen potencoserio ĉirkaŭ la sama centro c, la potencoserio de la (sumo, sumi) aŭ diferenco de la funkcioj povas esti ricevita per _termwise_ aldono kaj subtraho. Tio estas, se:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n$

$g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n$

tiam

$f(x)\pm g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n \pm b_n) (x-c)^n$

[redaktu] Multipliko kaj divido

Kun la sama (difinoj, difinas) pli supre, por la potencoserio de la (produkto, produto) kaj kvociento de la funkcioj povas esti ricevita kiel sekvas:

$f(x)g(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)$

$= \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty a_i b_j (x-c)^{i+j}$

$= \sum_{n=0}^\infty (\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}) (x-c)^n.$

La vico $m_n := \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}$ estas sciata kiel la rulumo de la vico $a n$ kaj $b n$ .

Por divido, observi:

${f(x)\over g(x)} = {\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\over\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n} = \sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n$

$f(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n\right)$

kaj tiam uzi la pli supre, (komparanta, kontrastiganta) koeficientoj.

[redaktu] Diferencialado kaj integralado

Iam funkcio estas donita kiel potencoserio, ĝi estas kontinua kie ajn ĝi konverĝas kaj estas diferencialebla sur la eno de ĉi tiu aro. Ĝi povas esti (diferencialita, derivita) kaj integralis sufiĉe facile, per (traktatanta, traktanta, kuracanta) ĉiu (termo, membro, flanko, termino) aparte:

$f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-c \right)^{n-1}$

$\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-c \right)^{n+1}} {n+1} + C$

Ambaŭ de ĉi tiu serio havi la sama konverĝ(o)radiuso kiel la originala unu.

[redaktu] Analitikaj funkcioj

Funkcio f difinis sur iu (malfermi, malfermita) subaro U de R aŭ C estas (nomita, vokis) analitiko se ĝi estas loke donita per potencoserio. Ĉi tiu (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) ĉiu a ∈ U havas (malfermi, malfermita) najbaraĵo V ⊆ U, tia (tiu, ke, kiu) tie ekzistas potencoserio kun centro a kiu konverĝas al f(x) por ĉiu x ∈ V.

Ĉiu potencoserio kun pozitiva konverĝ(o)radiuso estas analitiko sur la eno de ĝia regiono de konverĝo. Ĉiuj holomorfaj funkcioj estas komplekso-analitiko. (Sumoj, Sumas) kaj (produktoj, produktas, produktaĵoj, produktaĵas, produtoj, produtas) de analitikaj funkcioj estas analitiko, kiel estas (kvocientoj, kvocientas, rilatoj, rilatas) kiel longa kiel la denominatoro estas ne-nulo.

Se funkcio estas analitiko, tiam ĝi estas malfinie ofte diferencialebla, sed en la (reala, reela) (kesto, okazo) la konversacii estas ne ĝenerale vera. Por analitika funkcio, la koeficientoj a_n povas esti komputita kiel

$a_n = \frac {f^{\left( n \right)}\left( c \right)} {n!}$

kie f⁽ⁿ⁾(c) signifas la nOna derivaĵo de f je c. Ĉi tiu (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) ĉiu analitika funkcio estas loke (prezentita, prezentis) per ĝia Serio de Taylor.

La malloka (formo, formi) de analitika funkcio estas plene difinita per ĝia loka konduto en jeno (senso, senco): se f kaj g estas du analitikaj funkcioj difinis sur la sama koneksa malfermita aro U, kaj se tie ekzistas ero c∈U tia (tiu, ke, kiu) f⁽ⁿ⁾(c) = g⁽ⁿ⁾(c) por ĉiuj n ≥ 0, tiam f(x) = g(x) por ĉiuj x ∈ U.

Se potencoserio kun konverĝ(o)radiuso r estas donita, unu povas konsideri analitikaj vastigaĵoj de la serio, kio estas analitikaj funkcioj f kiu estas difinita sur pli grandaj aroj ol { x : |x - c| < r } kaj (kongrui, konsenti) kun la donita potencoserio sur ĉi tiu aro. La nombro r estas maksimuma en jeno (senso, senco): tie ĉiam ekzistas kompleksa nombro x kun |x - a| = r tia (tiu, ke, kiu) ne analitika vastigaĵo de la serio povas esti difinita je x.

La potencoseria elvolvaĵo de la inversa funkcio de analitika funkcio povas esti difinita uzanta la Inversiga teoremo de Lagrange.

[redaktu] Formala potencoserio

En abstrakta algebro, unu provas al (enkapti, kapto) la (medolo, esenco) de potencoserio sen estante limigis al la kampoj de (reala, reela) kaj kompleksaj nombroj, kaj sen la (bezoni, bezono, necesa) al (konversacii, konversacio, prelego) pri konverĝo. Ĉi tiu (plumboj, plumbas, kondukas) al la koncepto de formala potencoserio, koncepto de granda utileco en kombinatoriko.

[redaktu] Potencoserio en kelkaj (variabloj, variablas)

Vastigaĵo de la teorio estas necesa por la (celoj, celas) de multvariebla kalkulo. potencoserio estas ĉi tie difinita al esti malfinia serio de la (formo, formi)

$f(x_1,\dots,x_n) = \sum_{j_1,\dots,j_n = 0}^{\infty}a_{j_1,\dots,j_n} \prod_{k=1}^n \left(x_k - c_k \right)^{j_k},$

kie j = (j₁, ..., j_n) estas vektoro de naturaj nombroj, la koeficientoj a_{(j₁,...,j_n)} estas kutime (reala, reela) aŭ kompleksaj nombroj, kaj la centro c = (c₁, ..., c_n) kaj argumento x = (x₁, ..., x_n) estas kutime (reala, reela) aŭ komplekso (vektoroj, vektoras). En la pli oportuna _multi_-indeksa skribmaniero ĉi tiu povas esti skribita

$f(x) = \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^n} a_{\alpha} \left(x - c \right)^{\alpha}.$

La teorio de tia serio estas _trickier_ ol por sola-(variablo, varianta) serio. Ekzemple, la regiono de absoluta konverĝo estas nun donita per logo-konveksa aro iom ol intervalo. Aliflanke, en la eno de ĉi tiu regiono de konverĝo unu (majo, povas) (diferenciali, derivi) kaj integrali sub la seria signo, (justa, ĵus) kiel unu (majo, povas) kun ordinara potencoserio.

[redaktu] (Mendi, Ordo) de potencoserio

Estu α esti _multi_-indekso por potencoserio f(x₁, x₂, …, x_n). La (mendi, ordo) de la potencoserio f estas difinita al esti la plej malgranda valoro |α| tia (tiu, ke, kiu) a_α ≠ 0, aŭ 0 se f ≡ 0. En aparta, por potencoserio f(x) en sola (variablo, varianta) x, la (mendi, ordo) de f estas la (plej minuskla, plej malgranda) povo de x kun nenula koeficiento. Ĉi tiu difino _readily_ etendas al _Laurent_ serio.

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Potencoserio_ae33.html"

Kategorioj: Artikoloj por polurado kaj movo | Kalkulo | Kompleksa analitiko | Analitiko | Matematika serio