冪級数

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冪級数（べききゅうすう、power series）は多項式に似た級数の一種である。具体的には可換環 R に対し、R の無限列 {a_n}_n∈N と不定元 x から作られる形式的な級数

$f (x)$	${}= \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$
	$= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots$

を冪級数、あるいは R 上の形式冪級数 (formal power series) とよぶ。各 a_nxⁿ を冪級数の項と呼び、各 a_n を係数と呼ぶ。また、c ∈ R に対して、

$\sum_{n=0}^\infty a_n(x - c)^n$

の形に表される級数を c を中心 (center) とする冪級数などと呼ぶ。

[編集] 代数的性質

このセクションでは R をある可換環とし、R に係数を持つ冪級数を扱う。

[編集] 代数的演算

同じ中心を持つ 2 つの冪級数が与えられたとき、それらの和・差・積が定義され、再び冪級数となる。すなわち、

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n,$

$g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n x^n$

に対し、和 f + g と差 f - g が各項の係数の和・差をとることにより

$f\pm g(x) := \sum_{n=0}^\infty (a_n\pm b_n)x^n$

のように定まる。また、積 fg とは

$(fg)(x) = \sum_{n=0}^\infty m_n x^n$

とおくとき、係数 m_n を

$m_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$

で定めることによって得られる冪級数のことを言う。

また、c ∈ R に対し、

$(cf)(x) = \sum_{n=0}^\infty c\cdot a_n x^n$

によって定まる冪級数 cf を、冪級数 f のスカラー c 倍という。

[編集] 冪級数環

R 上の形式冪級数の全体を R[[x]] で表すと、上記の演算によりR[[x]] は R 上の結合的多元環となる。これを R を係数環とする 1 変数の形式冪級数環と呼ぶ。

体 K 上の形式冪級数環 K[[x]] は完備な離散付値環である。またこのとき、冪級数の商は必ずしも冪級数とはならないが、それはある負の数を冪にもつような項からはじまる冪級数と似た形の級数（ローラン級数）として定まる。K 上の 1 変数ローラン級数の全体 K((x)) は K[[x]] の商体になるので、K((x)) をローラン級数体という。

[編集] 解析学的性質

[編集] 冪級数の収束

係数環 R が完備な位相環であるとき（実数全体のなす体 R や複素数全体のなす体 C などはそうである）には、級数の収束を考えることができる。

[編集] 収束半径の計算

[編集] 収束冪級数・解析関数

D を複素数平面上の領域とする。冪級数 f(x) が定義する複素関数 f: D → C はその収束半径が 0 でないとき収束冪級数と呼ぶ。収束冪級数はその収束円上で正則な関数（解析関数）を定める。

[編集] 多変数冪級数

多変数の形式冪級数環も x₁, ..., x_n を不定元として帰納的に

$R[[x_1,\ldots,x_n]] = R[[x_1,\ldots,x_{n-1}]]\,[[x_n]]$

として定義することができる。

[編集] 関連項目

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