טור חזקות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

באנליזה מתמטית, טור חזקות הוא מקרה פרטי חשוב של טור פונקציות. טורי חזקות שימושיים מאוד כדי לתאר קבוצה גדולה של פונקציות (פונקציות הניתנות לתיאור באמצעות טור חזקות נקראות אנליטיות), ולאפשר חישוב שלהן עד לכל רמת דיוק נדרשת, באמצעות פעולות אריתמטיות רגילות.

[עריכה] הגדרה

טור פונקציות מהצורה $\ f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n$ כאשר $\ a_n$ היא סדרה של מקדמים (לרוב אלו מספרים ממשיים או מרוכבים), ו- $\ c$ היא הנקודה שסביבה מפותח הטור. בפיתוח של אותה פונקציה סביב נקודות שונות יתקבלו טורים בעלי מקדמים שונים, אך כאשר הם יתכנסו- הם יתכנסו לאותו ערך.

[עריכה] רדיוס התכנסות

תכונה חשובה של טורי חזקות במספרים ממשיים או מרוכבים המבדילה אותן מטורי פונקציות אחרים היא קיום רדיוס התכנסות לטור חזקות.

אם $\ f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n$ הוא טור חזקות, אז קיים $\ 0\le r\le \infty$ כך שלכל $\ |x-c|<r$ הטור מתכנס בהחלט, ולכל תת קבוצה קומפקטית של $\ \left\{|x-c|<r\right\}$ הטור מתכנס במידה שווה. כאשר $\ r=\infty$ הטור מתכנס נקודתית עבור כל מספר, אך לא בהכרח מתכנס במידה שווה על כל המרחב, אלא רק על קבוצות חסומות בו.

על המעגל, או שתי הנקודות במקרה הממשי, $\ |x-c|=r$ לא ניתן בודאות לומר האם הטור מתכנס או מתבדר (קיימות דוגמאות לכאן ולכאן).

רדיוס ההתכנסות של טור חזקות נתון על ידי נוסחת קושי-הדמר: $\ \frac{1}{r}=\limsup_{n\rarr\infty} \sqrt[n]{|a_n|}$ (אם הגבול הוא 0, הטור מתכנס תמיד). נוסחה זו תמיד מניבה את הרדיוס המבוקש, אך לעתים קשה לחשב אותה. הנוסחה $\ r=\lim_{n\rarr\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|$ נכונה כאשר הגבול קיים (סופי או אינסופי), ולעתים היא קלה יותר לחישוב.

[עריכה] פעולות על טורי חזקות

[עריכה] חיבור וחיסור

סכום שני טורי חזקות הוא טור החזקות שמקדמיו הם סכום המקדמים של הטורים המחוברים, בדומה לטורי פונקציות רגילים:

$\sum_{i=0}^\infty a_i x^i + \sum_{i=0}^\infty b_i x^i = \sum_{i=0}^\infty (a_i + b_i ) x^i$

$\sum_{i=0}^\infty a_i x^i - \sum_{i=0}^\infty b_i x^i = \sum_{i=0}^\infty (a_i - b_i ) x^i$

[עריכה] מכפלה

מכפלת טור חזקות בקבוע הוא טור החזקות שמקדמיו הם מכפלת הקבוע בטור החזקות המוכפל:

$\ c \cdot \sum_{i=0}^\infty a_i x^i = \sum_{i=0}^\infty c \cdot a_i x^i$

מכפלת שני טורים:

$\left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right) = \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty a_i b_j (x-c)^{i+j} = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-c)^n.$

[עריכה] גזירה ואינטגרציה

את טורי החזקות ניתן לגזור אבר אבר, וכן גם לבצע אינטגרציה אבר אבר:

$\left( \sum_{i=0}^\infty a_i x^i \right) ^\prime (x) = \sum_{i=1}^\infty a_i i \left( x-c \right)^{i-1}$

$\int \sum_{i=0}^\infty a_i x^i \,dx = \sum_{i=0}^\infty \frac{a_i \left( x-c \right)^{i+1}} {i+1} + C$

[עריכה] שימושים

השימוש הנפוץ של טורי חזקות הוא לתיאור של פונקציות אנליטיות. אם פונקציה $\ f(x)$ היא אנליטית בנקודה $\ c$ , אז מקדמי טור החזקות סביב $\ c$ שמתאר את הפונקציה בסביבת $\ c$ הם $\ a_n=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}$ . כלומר, טור החזקות המתאר את הפונקציה הוא טור טיילור שלה באותה נקודה. ניתן להראות שכל תיאור של פונקציה באמצעות טור חזקות יהיה טור טיילור.

במישור המרוכב, רדיוס ההתכנסות של טור חזקות שמתאר פונקציה הולומורפית סביב נקודה מסוימת, הוא רדיוס המעגל המקסימלי סביב אותה נקודה, שלא מכיל אף נקודה סינגולרית.

ניתן להכליל את מושג טורי החזקות כדי לתאר פונקציות שאינן אנליטיות בנקודה, אך אנליטיות בסביבתה, על ידי טורי לורן.

[עריכה] טורי חזקות פורמליים

באלגברה מופשטת ובקומבינטוריקה, משתמשים בטורי חזקות פורמליים ככלי חישובי, כאשר בתחומים אלו אין עניין של התכנסות טורי החזקות, והם מוגדרים רק בשביל האריתמטיקה המיוחדת שלהם. בקומבינטוריקה הטורים מכונים פונקציות יוצרות. הפונקציות היוצרות משמשות כמעט רק לספירת עצמים, על ידי מקדמי החזקות המתאימות, ולכן בדרך כלל אין חשיבות להתכנסות הטורים. כך לדוגמה, טור החזקות $\sum_{i=1}^\infty n! x^n$ שמתבדר עבור כל מספר ששונה מאפס הוא פונקציה יוצרת לגיטימית.

[עריכה] דוגמאות

הפונקציה האקספוננציאלית ניתנת להצגה כטור חזקות: $\ e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ .

ניתן להראות שהתכונה הבסיסית של הפונקציה- העברת חיבור לכפל, נובעת ישירות מאופן הפעולה של הכפל על טורים ומהבינום של ניוטון. גם את הנוסחה $\ \frac{d}{dx} e^{ax} = a \cdot e^{ax}$ אפשר לקבל ישירות מאופן הפעולה של הנגזרת על טורי החזקות. תכונות אלו ניתן להרחיב גם לחוגים ולאלגבראות בנך באופן כללי, אם כי התכונה הראשונה תלויה בקומוטטיביות של המכפלה, ולא מתקיימת באופן כללי.