Vikipedio:Projekto matematiko/Prima teoremo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Prima teoremo
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En nombroteorio, la prima teoremo (_PNT_) priskribas la aproksimi, asimptota distribuo de la primoj.

Malglate parolanta, la primaj teoremaj ŝtatoj (tiu, ke, kiu) se vi hazarde (apartigi, elekti) nombro apud iu granda nombro N, la ŝanco de ĝi estante primo estas pri 1 / _ln_(N), kie _ln_(N) signifas la natura logaritmo de N. Ekzemple, proksima N = 10,000, pri unu en naŭ nombroj estas primo, (dum, ĉar) proksima N = 1,000,000,000, nur unu en ĉiu 21 nombroj estas primo.

En alia (vortoj, vortas), la primoj "maldensigi" kiel unu (aspektas, aspektoj, rigardas) je pli granda kaj pli grandaj nombroj, kaj la prima teoremo donas preciza priskribo de akurate kiom ili maldensigi.

Enhavo

1 (Propozicio, Frazo, Ordono) de la teoremo
2 La prima kalkula funkcio en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la logaritma integralo
3 La (eldoni, eligo) de "profundaĵo"
4 La prima teoremo por (aritmetikaj vicoj, aritmetikaj progresioj)
5 (Baroj, Baras) sur la prima kalkula funkcio
6 Proksimumaj kalkuladoj por la n(th, -a) primo
7 Breĉoj inter (primoj, primas)
8 (Baremo, Tabelo, Tablo) de π(x), x / _ln_ x, kaj _Li_(x)
9 Analoga por neredukteblaj polinomoj super finia kampo
10 Vidi ankaŭ
11 Referencoj
12 Ekstera (ligoj, ligas)

[redaktu] (Propozicio, Frazo, Ordono) de la teoremo

(Grafikaĵo, Grafeo) (komparanta, kontrastiganta) π(x), x / _ln_ x kaj _Li_(x)

Estu π(x) esti la prima kalkula funkcio (tiu, ke, kiu) donas la nombro de (primoj, primas) malpli ol aŭ egala al x, por (ĉiu, iu) reela nombro x. Ekzemple, π(10) = 4 ĉar estas kvar primoj (2, 3, 5 kaj 7) malpli ol aŭ egala al 10. La prima teoremo tiam ŝtatoj (tiu, ke, kiu) la limigo de la kvociento de la du funkcioj π(x) kaj x / _ln_(x) kiel x (manieroj, proksimiĝoj) malfinio estas 1. Uzanta _Landau_ (notacio, skribmaniero) ĉi tiu rezulto povas esti skribita kiel

$\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x}$ .

Ĉi tiu faras ne (meznombro, signifi) (tiu, ke, kiu) la limigo de la diferenco de la du funkcioj kiel x (manieroj, proksimiĝoj) malfinio estas nulo.

Bazita sur la (baremoj, baremas, tabeloj, tabelas, tabloj, tablas) per _Anton_ _Felkel_ kaj _Jurij_ _Vega_, la teoremo estis konjektita per _Adrien_-_Marie_ _Legendre_ en 1798 kaj (pruvita, pruvis) sendepende per Hadamard-a kaj _de_ _la_ _Vallée_ _Poussin_ en 1896. La pruvaj uzitaj manieroj de kompleksa analitiko, aparte la Rimana ζ funkcio.

[redaktu] La prima kalkula funkcio en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la logaritma integralo

Gaŭso konjektis (tiu, ke, kiu) (eĉ, ebena, para) pli bona proksimuma kalkulado al π(x) estas donita per la kompensa logaritma integrala funkcio _Li_(x), difinis per

$\mbox{Li}(x) = \int_2^x \frac1{\ln t} \,\mbox{d}t = \mbox{li}(x) - \mbox{li}(2).$

Ja, ĉi tiu integralo estas forte _suggestive_ de la nocio (tiu, ke, kiu) la 'denseco' de (primoj, primas) ĉirkaŭ t devus esti 1/_ln_t. Ĉi tiu funkcio estas rilatanta al la logaritmo per la asimptota elvolvaĵo

$\mbox{Li}(x) = \frac{x}{\ln x} \sum_{k=0}^\infty \frac{k!}{(\ln x)^k} = \frac{x}{\ln x} + \frac{x}{(\ln x)^2} + \frac{2x}{(\ln x)^3} + \cdots$

(Do, Tiel), la prima teoremo povas ankaŭ esti skribita kiel π(x) ~ _Li_(x). La avantaĝo de ĉi tiu formulaĵo estas (tiu, ke, kiu) la eraro (termo, membro, flanko, termino) estas malpli. Fakte, ĝi sekvas de la pruvo de Hadamard-a kaj _de_ _la_ _Vallée_ _Poussin_ (tiu, ke, kiu)

$\pi(x)={\rm Li} (x) + O \left(x \mathrm{e}^{-a\sqrt{\ln x}}\right) \quad\mbox{as } x \to \infty$

por iu pozitiva konstanto a, kie O(…) estas la granda a skribmaniero. Ĉi tiu havas estas plibonigita al

$\pi(x)={\rm Li} (x) + O \left(x \, \exp \left( -\frac{A(\ln x)^{3/5}}{(\ln \ln x)^{1/5}} \right) \right).$

Pro la ligo inter la Rimana ζ funkcio kaj π(x), la Rimana hipotezo havas (ega, konsiderebla) graveco en nombroteorio: se (fondita, fondis), ĝi devus liveri malproksime pli bona taksi de la eraro koncernata en la prima teoremo ol estas havebla hodiaŭ. Pli aparte, _Helge_ _von_ _Koch_ montris en 1901 (tiu, ke, kiu), se kaj nur se la Rimana hipotezo estas vera, la eraro (termo, membro, flanko, termino) en la pli supre rilato povas esti plibonigita al

$\pi(x) = {\rm Li} (x) + O\left(\sqrt x \ln x\right).$

La konstanto koncernata en la granda a skribmaniero estis taksita en 1976 per _Lowell_ _Schoenfeld_: alprenanta la Rimana hipotezo,

$|\pi(x)-{\rm Li}(x)|<\frac{\sqrt x\,\ln x}{8\pi}$

por ĉiuj x ≥ 2657. Li ankaŭ derivis simila baro por la Ĉebiŝev-a prima kalkula funkcio ψ:

$|\psi(x)-x|<\frac{\sqrt x\,\ln^2 x}{8\pi}$

por ĉiuj x ≥ 73.2.

La logaritma integralo _Li_(x) estas pli granda ol π(x) por "malgranda" (valoroj, valoras) de x. Tamen, en 1914, J. E. Littlewood-a (pruvita, pruvis) (tiu, ke, kiu) ĉi tiu estas ne ĉiam la (kesto, okazo). La unua valoro de x kie π(x) superas _Li_(x) estas ĉirkaŭ x = 10³¹⁶; vidi la artikolo sur Deklivoj' nombro por pli (detaloj, detalas).

[redaktu] La (eldoni, eligo) de "profundaĵo"

En la unua duono de la dudeka jarcento, iu (matematikistoj, matematikistas) felto (tiu, ke, kiu) tie ekzistas hierarkio de teknikoj en matematiko, kaj (tiu, ke, kiu) la prima teoremo estas "profunda" teoremo, kies pruvo postulas kompleksa analitiko. Manieroj kun nur (reala, reela) (variabloj, variablas) estita supozita al esti _inadequate_. Godfrey Harold Hardy estis unu rimarkinda membro de ĉi tiu grupo.

La formulaĵo de ĉi tiu konvinko estis io _shaken_ per pruvo de la prima teoremo bazita sur Wiener-a's _tauberian_ teoremo, kvankam ĉi tiu povis esti ĉirkaŭirita per (aljuĝado, juĝanta) Wiener-a's teoremo "profundaĵo" sin ekvivalento al la kompleksaj manieroj. Tamen, (Paŭlo, Bono) _Erd_ős kaj _Atle_ _Selberg_ fundamenti (do, tiel)-(nomita, vokis) "rudimenta" pruvo de la prima teoremo en 1949, kiu uzas nur nombro-teoria (meznombroj, meznombras, signifas). La _Selberg_-_Erd_ős laboro efike _laid_ (restaĵo, ripozi) al la tuta koncepto de "profundaĵo", montranta (tiu, ke, kiu) teknike "rudimenta" manieroj (en alia (vortoj, vortas) kombinatoriko) estis pli akra ol antaŭe atendis. Sinsekva evoluo de kribrilaj manieroj montris ili havis definitiva rolo en prima teorio.

_Avigad_ _et_ _al_. (2005) enhavas komputilo kontrolis versio de ĉi tiu rudimenta pruvo en la _Isabelle_ teoremo _prover_.

[redaktu] La prima teoremo por (aritmetikaj vicoj, aritmetikaj progresioj)

Estu $π n, a (x)$ signifi la nombro de (primoj, primas) en la aritmetika vico a, a + n, a + 2n, a + 3n, … malpli ol x. Dirichlet-a kaj _Legendre_ konjektis, kaj _Vallée_ _Poussin_ (pruvita, pruvis), (tiu, ke, kiu), se a kaj n estas interprimo, tiam

$\pi_{n,a}(x) \sim \frac{1}{\phi(n)}\mathrm{Li}(x),$

kie φ(·) estas la Eŭlera _totient_ funkcio. En alia (vortoj, vortas), la (primoj, primas) estas distribuita (ebene, pare) inter la n-modulaj restoklasoj [a] module n kun pGKD (plej granda komuna divizoro)(a, n) = 1.

[redaktu] (Baroj, Baras) sur la prima kalkula funkcio

La prima teoremo estas asimptota rezulto. De ĉi tie, ĝi ne povas kutimi baro π(x).

Tamen, iu (baroj, baras) sur π(x) estas sciata, ekzemple

$\frac{x}{\ln x} < \pi(x) < 1.25506 \, \frac{x}{\ln x}.$

La unua neegalaĵo tenas por ĉiuj x ≥ 17 kaj la (sekundo, dua) unu por x > 1.

Alia utila baro estas

$\frac {x}{\ln x + 2} < \pi(x) < \frac {x}{\ln x - 4} \quad\mbox{for } x \ge 55.$

[redaktu] Proksimumaj kalkuladoj por la n(th, -a) primo

Sekve de tio de la prima teoremo, unu prenas asimptota esprimo por la n(th, -a) primo, signifis per p_n:

p n ˜ n ln n .

Pli bona proksimuma kalkulado estas

$p_n = n \ln n + n \ln \ln n + \frac{n}{\ln n} \big( \ln \ln n - \ln n- 2 \big) + O\left( \frac {n (\ln \ln n)^2} {(\ln n)^2}\right).$

Teoremo de Rosser ŝtatoj (tiu, ke, kiu) p_n estas pli granda ol n _ln_ n. Ĉi tiu povas esti plibonigita per jena paro de (baroj, baras):

$n \ln n + n\ln\ln n - n < p_n < n \ln n + n \ln \ln n \quad\mbox{for } n \ge 6.$

La (maldekstre, restis) neegalaĵo estas pro al _Pierre_ _Dusart_ (1999) kaj estas valida por n ≥ 2.

[redaktu] Breĉoj inter (primoj, primas)

La prima teoremo diras (tiu, ke, kiu) la "averaĝa" longo de la breĉo inter primo p kaj la venonta primo estas _ln_ p. Kompreneble, la reala longo de la breĉo povus esti multa plimalpli ol ĉi tiu. Ekzemple, la breĉo inter paro de ĝemelaj primoj enhavas nur unu nombro. Aliflanke, la eraro (termo, membro, flanko, termino) en la prima teoremo (implicas, enhavas) supera baro sur la longo de breĉo: por ĉiu ε > 0, estas nombro q tia (tiu, ke, kiu) la breĉo estas (pli minuskla, pli malgranda) ol εp por ĉiuj (primoj, primas) p pli granda ol q. Ĉi tiu rezulto havas estas plibonigita _steadily_. Bakisto _et_ _al_. (2001) (pruvita, pruvis) (tiu, ke, kiu) breĉo estas maksimume p^0.525 por sufiĉe granda p.

(Eĉ, Ebena, Para) pli bonaj rezultoj estas ebla se ĝi estas alprenita (tiu, ke, kiu) la Rimana hipotezo estas vera. _Harald_ _Cramér_ (pruvita, pruvis) (tiu, ke, kiu), sub ĉi tiu (premiso, supozo), la breĉo g(p) (verigas, kontentigas)

$g(p) = O(\sqrt{p} \ln p).$

Poste, li konjektis (tiu, ke, kiu) la breĉoj estas (eĉ, ebena, para) (pli minuskla, pli malgranda), nome

$g(p) = O\left((\ln p)^2\right).$

Je la (momanto, momento), la cifereca indikaĵo aspektas al punkto en ĉi tiu direkto. Vidi _Cramér_'s konjekto por pli (detaloj, detalas).

[redaktu] (Baremo, Tabelo, Tablo) de π(x), x / _ln_ x, kaj _Li_(x)

Jen (baremo, tabelo, tablo) (tiu, ke, kiu) montras kiel la tri funkcioj π(x), x / _ln_ x kaj _Li_(x) kompari:

x	π(x)	π(x) − x / _ln_ x	_Li_(x) − π(x)	x / π(x)
10	4	−0.3	2.2	2.500
10²	25	3.3	5.1	4.000
10³	168	23	10	5.952
10⁴	1,229	143	17	8.137
10⁵	9,592	906	38	10.425
10⁶	78,498	6,116	130	12.740
10⁷	664,579	44,158	339	15.047
10⁸	5,761,455	332,774	754	17.357
10⁹	50,847,534	2,592,592	1,701	19.667
10¹⁰	455,052,511	20,758,029	3,104	21.975
10¹¹	4,118,054,813	169,923,159	11,588	24.283
10¹²	37,607,912,018	1,416,705,193	38,263	26.590
10¹³	346,065,536,839	11,992,858,452	108,971	28.896
10¹⁴	3,204,941,750,802	102,838,308,636	314,890	31.202
10¹⁵	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1,052,619	33.507
10¹⁶	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	3,214,632	35.812
10¹⁷	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,281	7,956,589	38.116
10¹⁸	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	21,949,555	40.420
10¹⁹	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,960	99,877,775	42.725
10²⁰	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,701	222,744,644	45.028
10²¹	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	597,394,254	47.332
10²²	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1,932,355,208	49.636
10²³	1,925,320,391,606,818,006,727	37,083,513,766,592,669,113	7,236,148,412	51.939

La unua kolumno estas vico _A006880_ en _OEIS_; la (sekundo, dua) kolumno estas vico _A057835_; kaj la tria kolumno estas vico _A057752_.

[redaktu] Analoga por neredukteblaj polinomoj super finia kampo

Estas analoga de la prima teoremo (tiu, ke, kiu) priskribas la "distribuo" de neredukteblaj polinomoj super finia kampo; la (formo, formi) ĝi prenas estas okulfrape simila al la (kesto, okazo) de la klasika prima teoremo.

Al (ŝtato, stato, stati) ĝi precize, estu F = Gf(q) esti la finia kampo kun q eroj, por iu (fiksis, neŝanĝebligita) q, kaj estu N_n esti la nombro de _monic_ nereduktebla (polinomoj, polinomas) super F kies grado estas egala al n. Tio estas, ni estas (aspektanta, rigardanta) je (polinomoj, polinomas) kun koeficientoj elektita de F, kiu ne povas esti skribita kiel (produktoj, produktas, produktaĵoj, produktaĵas, produtoj, produtas) de (polinomoj, polinomas) de (pli minuskla, pli malgranda) grado. En ĉi tiu opcio, ĉi tiuj (polinomoj, polinomas) ludi la rolo de la primoj, ekde ĉiuj alia _monic_ (polinomoj, polinomas) estas konstruita supren de (produktoj, produktas, produktaĵoj, produktaĵas, produtoj, produtas) de ilin. Unu povas tiam pruvi (tiu, ke, kiu)

$N_n \sim \frac{q^n}{n}.$

Se ni fari la anstataŭo x = qⁿ, tiam la (ĝusta, dekstra, rajto) mana flanko estas (justa, ĵus)

$\frac{x}{\log_q x},$

kiu (konstruas, faras) la analogio pli klara. Ekde estas precize qⁿ _monic_ (polinomoj, polinomas) de grado n (inkluzivanta la redukteblaj aĵoj), ĉi tiu povas esti _rephrased_ kiel sekvas: se vi (apartigi, elekti) _monic_ polinomo de grado n hazarde, tiam la probablo de ĝi estante nereduktebla estas pri 1/n.

Unu povas (eĉ, ebena, para) pruvi analoga de la Rimana hipotezo, nome (tiu, ke, kiu)

$N_n = \frac{q^n}n + O\left(\frac{q^{n/2}}{n}\right).$

La pruvoj de ĉi tiuj (propozicioj, frazoj, ordonoj) estas malproksime pli simpla ol en la klasika (kesto, okazo). Ĝi engaĝas mallonga kombina argumento, resumis kiel sekvas. Ĉiu ero de la grado n vastigaĵo de F estas radiko de iu nereduktebla polinomo kies grado d (akvodislimoj, akvodislimas, divizoras, dividas) n; per (kalkulo, kalkulanta) ĉi tiuj (radikoj, radikas) en du malsama (vojoj, vojas) unu _establishes_ (tiu, ke, kiu)

$q^n = \sum_{d\mid n} d N_d,$

kie la (sumo, sumi) estas super ĉiuj divizoroj d de n. _Mobius_ inversigo tiam rendimento

$N_n = \frac1n \sum_{d\mid n} \mu(n/d) q^d,$

kie μ(k) estas la _Mobius_ funkcio. La ĉefa (termo, membro, flanko, termino) okazas por d = n, kaj ĝi estas ne malfacila al baro la cetera (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas). La "Rimana hipotezo" (propozicio, frazo, ordono) dependas sur la fakto (tiu, ke, kiu) la plej granda propra divizoro de n povas esti ne pli granda ol n/2.

[redaktu] Vidi ankaŭ

Abstrakta analitika nombroteorio por informo pri (ĝeneraligoj, ĝeneraligas) de la teoremo.
_Landau_ prima ideala teoremo por ĝeneraligo al primaj idealoj en algebraj nombraj kampoj.

[redaktu] Referencoj

_Jeremy_ _Avigad_, _Kevin_ _Donnelly_, Davido Griza, kaj (Paŭlo, Bono) _Raff_, A formale kontrolis pruvo de la prima teoremo, e-printi _cs_._AI_/0509025 en la _ArXiv_, 2005.
Eriko (persona nomo) _Bach_ kaj _Jeffrey_ _Shallit_, Algoritma Nombra Teorio, volumeno 1, 1996, _MIT_ Premi. ISBN 0-262-02405-5, vidi paĝo 233 en sekcio 8.8.
R. C. Bakisto, G. _Harman_, G. kaj J. _Pintz_, La diferenco inter najbara (primoj, primas), II, Paperoj de la Londona Matematika Socio, (volumeno, volumo). 83, paĝoj 532–562, 2001.
Andreo _Granville_, _Harald_ _Cramér_ kaj la distribuo de primoj, _Scandanavian_ _Actuarial_ Ĵurnalo, (volumeno, volumo). 1, paĝoj 12–28, 1995.
Donald Knuth, La Arto de Komputila Programado, volumeno 2, sekcio 4.5.4, ekzerci 36, ISBN 0-201-89684-2.
_Lowell_ _Schoenfeld_, pli akra (baroj, baras) por la Ĉebiŝev-aj funkcioj θ(x) kaj ψ(x), II, Matematiko de Kalkulado, (volumeno, volumo). 30, ne. 134, _pp_. 337–360, 1976.
_Ivan_ _Soprounov_, A Mallonga Pruvo de la Prima Nombra Teoremo por Aritmetiko (Progresioj, Progresias), 1998.

[redaktu] Ekstera (ligoj, ligas)

(Baremo, Tabelo, Tablo) de (Primoj, Primas) per _Anton_ _Felkel_.
Primo (formuloj, formulas) kaj Prima teoremo je _MathWorld_.
Kiel Multaj (Primoj, Primas) Estas Tie? kaj La Breĉoj inter (Primoj, Primas) per _Chris_ _Caldwell_, Universitato de Tenesio je _Martin_.

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Prima_teoremo_c37e.html"

Kategorioj: Artikoloj por polurado kaj movo | Analitika nombroteorio | Primoj | Matematikaj teoremoj