Vikipedio:Projekto matematiko/Spuro (lineara algebro)

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Spuro (lineara algebro) (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En lineara algebro, la spuro de n-per-n kvadrata matrico A estas difinita al esti la (sumo, sumi) de la eroj sur la ĉefa diagonalo (la diagonalo de la supra (maldekstre, restis) al la suba (ĝusta, dekstra, rajto)) de A, kio estas

_tr_(A) = A_1,1 + A_2,2 + ... + A_n,n.

kie A_{_ij_} prezentas la (mi,j)'(th, -a) ero de A. La uzi de la (termo, membro, flanko, termino) spuro ekestas de la Germana (termo, membro, flanko, termino) ' (_cognate_ kun la Angla ').

Enhavo 1 Propraĵoj 1.1 Ajgenaj interrilatoj 2 Alia (ideoj, ideas) kaj aplikoj 3 Ena (produkto, produto) 4 Ĝeneraligo 5 Vidi ankaŭ

[redaktu] Propraĵoj

La spuro estas lineara surĵeto. Tio estas,

_tr_(A + B) = _tr_(A) + _tr_(B)

_tr_(_rA_) = r _tr_(A)

por ĉiuj kvadrataj matricoj A kaj B, kaj ĉiuj (skalaroj, skalaras) r.

Ekde la ĉefa diagonalo estas ne movita sur transpono, matrico kaj ĝia transponi havi la sama spuro:

_tr_(A) = _tr_(A^T).

Se A estas n×m matrico kaj B estas m×n matrico, tiam

_tr_(_AB_) = _tr_(Ba).

Uzanta ĉi tiu fakto, ni povas (dedukti, konkludi) (tiu, ke, kiu) la spuro de (produkto, produto) de kvadrataj matricoj estas egala al la spuro de (ĉiu, iu) cikla permuto de la (produkto, produto), fakto sciata kiel la cikla propraĵo de la spuro. Ekzemple, kun tri kvadrataj matricoj A, B, kaj C,

_tr_(Aboco) = _tr_(_CAB_) = _tr_(_BCA_).

Pli ĝenerale, la sama estas vera se la matricoj estas ne alprenita al esti kvadrato, sed estas (do, tiel) formis tia (tiu, ke, kiu) ĉiuj de ĉi tiuj (produktoj, produktas, produktaĵoj, produktaĵas, produtoj, produtas) ekzisti.

Se A, B, kaj C estas kvadrataj matricoj de la sama dimensio kaj estas simetria, tiam la (spuroj, spuras) de ilia (produktoj, produktas, produktaĵoj, produktaĵas, produtoj, produtas) estas invarianto ne nur sub ciklaj permutoj sed sub ĉiuj (permutoj, permutas), kio estas,

_tr_(Aboco) = _tr_(_CAB_) = _tr_(_BCA_) = _tr_(_BAC_) = _tr_(_CBA_) = _tr_(_ACB_).

La spuro estas simileco-invarianto, kiu (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) A kaj P⁻¹_AP_ (P inversigebla) havi la sama spuro, kvankam tie ekzisti matricoj kiu havi la sama spuro sed estas ne simila. Ĉi tiu povas esti kontrolita uzanta la cikla propraĵo pli supre:

_tr_(P⁻¹_AP_) = _tr_(_PP_⁻¹A) = _tr_(A)

Donita iu lineara surĵeto f : V → V (V estas finidimensia vektora spaco) ĝenerale, ni povas difini la spuro de ĉi tiu mapo per konsideranta la spuro de matrica prezento de f, tio estas, elektanta bazo por V kaj priskribanta f kiel matrico relativa al ĉi tiu bazo, kaj prenante la spuro de ĉi tiu kvadrata matrico. La rezulto estos ne dependi sur la bazo elektita, ekde malsama (bazas, bazoj) estos elkovi similaj matricoj, permesanta por la ebleco de baza sendependa difino por la spuro de lineara surĵeto. Uzanta la kanona izomorfio inter la spaca Fino(V) de linearaj surĵetoj sur V kaj V⊗V^*, la spuro de v⊗f estas difinita al esti f(v), kun v en V kaj f ero de la dualo V^*.

[redaktu] Ajgenaj interrilatoj

Se A estas kvadrato n-per-n matrico kun (reala, reela) aŭ kompleksaj elementoj kaj se λ₁,...,λ_n estas la (komplekso) (ajgenoj, ajgenas) de A (listis laŭ ilia algebra (oblecoj, oblecas)), tiam

_tr_(A) = ∑ λ_mi.

Ĉi tiu sekvas de la fakto (tiu, ke, kiu) A estas ĉiam simila al ĝia (Jordanio, Jordano, Jordan) (formo, formi), supra triangula matrico havanta λ₁,...,λ_n sur la ĉefa diagonalo.

De la ligo inter la spuro kaj la (ajgenoj, ajgenas), unu povas derivi ligo inter la spura funkcio, la matrica eksponenta funkcia funkcio, kaj la determinanto:

_det_((eksp, exp)(A)) = (eksp, exp)(_tr_(A)).

La spuro ankaŭ elstare (aperas, ŝajnas, aspektas) en Jakobia formulo por la derivaĵo de la determinanto (vidi sub determinanto).

[redaktu] Alia (ideoj, ideas) kaj aplikoj

Se unu imagas (tiu, ke, kiu) la matrico A priskribas akvo (flui, fluo), en la (senso, senco) (tiu, ke, kiu) por ĉiu x en Rⁿ, la vektoro Ax prezentas la rapido de la akvo je la loko x, tiam la spuro de A povas esti interpretita kiel sekvas: donita (ĉiu, iu) regiono U en Rⁿ, la reta fluo akva el U estas donita per _tr_(A)· (volumeno, volumo)(U), kie (volumeno, volumo)(U) estas la volumeno de U. Vidi diverĝenco.

La spuro estas uzita al difini signoj de grupaj prezentoj. Donita du prezentoj A(x) kaj B(x), ili estas ekvivalento se _tr_ A(x) = _tr_ B(x).

Matrico kies spuro estas nulo estas dirita al esti _traceless_ aŭ _tracefree_.

[redaktu] Ena (produkto, produto)

Por m-per-n matrico A kun komplekso (aŭ (reala, reela)) elementoj, ni havi

_tr_(A^*A) ≥ 0

kun egaleco nur se A = 0. La asigno

<A, B> = _tr_(A^*B)

rendimento ena (produkto, produto) sur la spaco de ĉiu komplekso (aŭ (reala, reela)) m-per-n matricoj.

Se m=n tiam la normo konkludis per la pli supre ena (produkto, produto) estas (nomita, vokis) la Frobenius-a normo de kvadrata matrico. Ja ĝi estas simple la Eŭklida normo se la matrico estas (konsiderita, konsideris) kiel vektoro de longo n².

[redaktu] Ĝeneraligo

La koncepto de spuro de matrico estas ĝeneraligita al la spura klaso de baritaj linearaj operatoroj sur Hilbertaj spacoj.

Parta spuro estas alia ĝeneraligo de la spuro.

[redaktu] Vidi ankaŭ

• spura klaso
• kampa spuro
• parta spuro