Vikipedio:Projekto matematiko/Uniforma konverĝo
El Vikipedio
 |
Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Uniforma konverĝo (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi. |
En analitiko, vico { fn } de funkcioj konverĝas unuforme al (limigante, limiganta) funkcio f se la rapido de konverĝo de fn(x) al f(x) ne dependi sur x. Ĉi tiu nocio estas uzita ĉar kelkaj gravaj propraĵoj de la funkcioj fn, kiel kontunueco, derivebleco kaj Rimano _integrability_, estas nur (ĝiris, tradonita) al la limigo f se la konverĝo estas uniformo.
Enhavo |
[redaktu] Difino kaj komparo kun punktlarĝa konverĝo
Supozi S estas aro kaj fn : S → R estas (reala, reela)-valoraj funkcioj por ĉiu natura nombro n. Ni diri (tiu, ke, kiu) la vico (fn) konverĝas unuforme kun limigo f : S → R se kaj nur se
- por ĉiu ε > 0, tie ekzistas natura nombro N tia (tiu, ke, kiu) por ĉiuj x en S kaj ĉiuj n ≥ N, |fn(x) − f(x)| < ε.
Kompari ĉi tiu al la koncepto de punktlarĝa konverĝo: La vico (fn) konverĝas punktlarĝa kun limigo f : S → R se kaj nur se
- por ĉiu x en S kaj ĉiu ε > 0, tie ekzistas natura nombro N tia (tiu, ke, kiu) por ĉiuj n ≥ N, |fn(x) − f(x)| < ε.
Ĉe uniforma konverĝo, N povas nur dependi sur ε, dum ĉe punktlarĝa konverĝo N (majo, povas) dependi sur ε kaj x. Ĝi estas pro tio (ebenaĵo, eben(aĵ)o) (tiu, ke, kiu) uniforma konverĝo (implicas, enhavas) punktlarĝa konverĝo. La konversacii estas ne vera, kiel jena ekzemplo montras: preni S al esti la unuobla intervalo [0,1] kaj difini fn(x) = xn por ĉiu natura nombro n. Tiam (fn) konverĝas punktlarĝa al la funkcio f difinis per f(x) = 0 se x < 1 kaj f(1) = 1. Ĉi tiu konverĝo estas ne uniformo: ekzemple por ε = 1/4, tie ekzistas ne N kiel postulis per la difino.
[redaktu] Topologia _reformulation_
Donita topologia spaco X, ni povas (ekipi, armi) la spaco de (reala, reela) aŭ komplekso-valoraj funkcioj super X kun la uniforma norma topologio. Tiam, uniforma konverĝo simple (meznombroj, meznombras, signifas) konverĝo en la uniforma norma topologio.
[redaktu] (Teoremoj, Teoremas)
Se S estas (reala, reela) intervalo (aŭ ja (ĉiu, iu) topologia spaco), ni povas (konversacii, konversacio, prelego) pri la kontunueco de la funkcioj fn kaj f. Jeno estas la pli grava rezulto pri uniforma kontunueco:
- Uniforma konverĝa teoremo. Se (fn) estas vico de kontinua funkcioj kiu konverĝas unuforme al la funkcio f, tiam f estas kontinua kiel bone.
La antaŭa teoremo estas grava, ekde punktlarĝa konverĝo de kontinuaj funkcioj estas ne sufiĉa al garantii kontunueco de la limiga funkcio kiel la bildo ilustras.
Se S estas intervalo kaj ĉiuj funkcioj fn estas diferencialebla kaj konverĝi al limigo f, ĝi estas ofte dezirinda al (diferenciali, derivi) la limiga funkcio f per prenante la limigo de la derivaĵoj de fn. Ĉi tiu estas tamen en ĝenerala ne ebla: eĉ se la konverĝo estas uniformo, la limiga funkcio (bezoni, bezono, necesa) ne esti diferencialebla, kaj eĉ se ĝi estas diferencialebla, la derivaĵo de la limiga funkcio (bezoni, bezono, necesa) ne esti egala al la limigo de la derivaĵoj. Konsideri ekzemple fn(x) = 1/n (peko, peki)(_nx_) kun uniforma limigo 0, sed la derivaĵoj ne (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) 0. La preciza (propozicio, frazo, ordono) (kovranta, kovro) ĉi tiu situacio estas kiel sekvas:
- Se fn konverĝas unuforme al f, kaj se ĉiu fn estas diferencialebla, kaj se la derivaĵoj <_var_>f</_var_>'n konverĝi unuforme al g, tiam f estas diferencialebla kaj ĝia derivaĵo estas g.
Simile, unu ofte (bezonoj, bezonas) al interŝanĝi integraloj kaj limigaj procezoj. Por la Rimana integralo, unu (bezonas, bezonoj) al postuli uniforma konverĝo:
- Se (fn) estas vico de Rimanaj integraleblaj funkcioj kiu unuforme konverĝi kun limigo f, tiam f estas Rimano integralebla kaj ĝia integralo povas esti komputita kiel la limigo de la integraloj de la fn.
Multa pli forta (teoremoj, teoremas) en ĉi tiu respekto, kiu postuli ne multa pli ol punktlarĝa konverĝo, povas esti ricevita se unu forlasas la Rimana integralo kaj uzas la Lebega integralo anstataŭe.
- Se S estas kompakta intervalo (aŭ en ĝenerala kompakta topologia spaco), kaj (fn) estas monotona pligrandiĝanta vico (signifo fn(x) ≤ fn+1(x) por ĉiuj n kaj x) de kontinua funkcioj kun punktlarĝa limigo f kiu estas ankaŭ kontinua, tiam la konverĝo estas bezone uniformo ("_Dini_'s teoremo"). Uniforma konverĝo estas ankaŭ garantiis se S estas kompakta intervalo kaj (fn) estas _equicontinuous_ vico (tiu, ke, kiu) konverĝas punktlarĝa.
[redaktu] (Ĝeneraligoj, Ĝeneraligas)
Unu (majo, povas) simple etendi la koncepto al funkcioj S → M, kie (M, d) estas metrika spaco, per anstataŭiganta |fn(x) - f(x)| kun d(fn(x), f(x)).
La plej ĝenerala opcio estas la uniforma konverĝo de (retoj, retas) de funkcioj S → X, kie X estas uniforma spaco. Ni diri (tiu, ke, kiu) la (reto, neta) (fα) konverĝas unuforme kun limigo f : S → X se kaj nur se
- por ĉiu akompanantaro V en X, tie ekzistas α0, tia (tiu, ke, kiu) por ĉiu x en Mi kaj ĉiu α≥α0: (fα(x), f(x)) estas en V.
La pli supre menciita teoremo, (ŝtatanta, statanta) (tiu, ke, kiu) la uniforma limigo de kontinuaj funkcioj estas kontinua, restas (ĝusta, ĝustigi, korekti) en ĉi tiuj (kadroj, kadras, agordo, opcioj, opcias).
[redaktu] Historio
Augustin Louis Cauchy en 1821 (publikigita, publikigis) _faulty_ pruvo de la malvera (propozicio, frazo, ordono) (tiu, ke, kiu) la punktlarĝa limigo de vico de kontinuaj funkcioj estas ĉiam kontinua. Jozefo Fourier-a kaj Niels Henrik Abel fundamenti nombrilo (ekzemploj, ekzemplas) en la ĉirkaŭteksto de Serio de Fourier. Dirichlet-a tiam analizis Koŝia pruvo kaj fundamenti la eraro: la nocio de punktlarĝa konverĝo havis al esti (anstataŭigita, anstataŭigis) per uniforma konverĝo.
[redaktu] Referenco
Teorio kaj Apliko de Malfinia Serio, _Konrad_ _Knopp_, _Blackie_ kaj Filo, Londono, 1954, represis per Dovero (Eldonoj, Eldonas), ISBN 0486661652.
