Proceso estocástico
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En Matemáticas y en concreto en Estadística y Teoría de la Probabilidad un proceso aleatorio o proceso estocástico es un concepto matemático que sirve para caracterizar y estudiar todo tipo fenómenos aleatorios (estocásticos) que evolucionan, generalmente, con el tiempo.
Una definición informal sería la siguiente:
Un proceso estocástico es una sucesión de variables aleatorias indexadas por una variable (continua o discreta), generalmente, el tiempo. Cada una de las variables aleatorias del proceso tiene su propia función de distribución de probabilidad y, entre ellas, pueden estar correlacionadas o no.
[editar] Ejemplos
- Los siguientes son ejemplos dentro del amplio grupo de las series temporales:
- Señales de telecomunicación
- Señales biomédicas (electrocardiograma, encefalograma, etc...)
- Señales sísmicas
- El número de manchas solares año tras año
- El índice de la bolsa segundo a segundo
- La evolución de la población de un municipio año tras año
- El tiempo de espera en cola de cada uno de los usuarios que van llegando a una ventanilla
- El clima es un gigantésco cúmulo de procesos estocásticos interrelacionados (velocidad del viento, humedad del aire, temperaura, etc) que evolucionan en el espacio y en el tiempo.
[editar] Definición matemática
Un proceso estocástico se puede definir equivalentemente de dos formas diferentes:
- Como un conjunto de variables aleatorias Xk indexadas por un índice k, que puede ser continuo o discreto
- Como un conjunto de realizaciones temporales y un índice aleatorio que selecciona una de ellas.
Las variables aleatorias Xk toman valores en un conjunto que se denomina espacio de estados.
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[editar] Casos especiales
- Proceso homogéneo
- Proceso estacionario: Un proceso es estacionario en sentido estricto si la función de distribución conjunta de cualquier subconjunto de variables es invariante respecto a un desplazamiento en el tiempo. Se dice que un proceso es estacionario en sentido amplio (o débilmente estacionario) cuando se verifica que 1. La media teórica es independiente del tiempo y 2. Las autocovarianzas de orden s sólo vienen afectadas por el lapso de tiempo transcurrido entre los dos periodos y no depende del tiempo.
- Proceso de Markov: Aquellos en que la evolución sólo depende del estado actual y no de los anteriores.
- Proceso de Gauss: En el que toda combinación lineal de variables es una variable de distribución normal.
- Proceso de Poisson
- Proceso de Gauss-Markov: Son procesos, al mismo tiempo, de Gauss y de Markov
- Proceso de Bernoulli
