Polynomi

Wikipedia

Useimmin polynomit tavataan ensimmäistä kertaa peruskoulussa, jossa niitä esiintyy lähinnä seuraavankaltaisissa tehtävissä: Ratkaise x yhtälöstä x² + 2x = 4. Tällöin on kyse analyysissä käsitellyistä polynomifunktioista. Polynomeja esiintyy kuitenkin matematiikassa hyvin laajalti, eikä niiden funktiotulkinta suinkaan ole aina oleellinen. Esimerkiksi generoivia funktioita esitetään polynomeilla, mutta ne eivät nimestään huolimatta ole funktioita lainkaan.

Sisällysluettelo

1 Polynomi yli renkaan
2 Reaali- ja kompleksipolynomit
- 2.1 Katso myös
3 Polynomeja matematiikan eri aloilta
4 Polynomien yleistyksiä

[muokkaa] Polynomi yli renkaan

Renkaan R yli voidaan määritellä polynomi p(x), $p(x) = a_0 + a_1 x+ \cdots + a_n x^n$ , missä $n \geq 0, a_i \in R \forall i$ . Selvästi tällainen polynomi vastaa ääretöntä jonoa $(a 1, a 2,..., a n,0,0,0,...)$ , jossa taas kaikki a_i ovat renkaan R alkioita. Polynomien voidaan siis ajatella olevan vain muodollisia kirjoitelmia, joissa x on pelkkä symboli, määräämätön. Muodollisille kirjoitelmille voidaan määritellä polynomien yhteen- ja kertolaskua vastaavat laskutoimitukset, jolloin muodostuu polynomirengas $R [x]$ . Polynomirenkaita käsiteltäessä polynomeja ajatellaan joko muodollisina kirjoitelmina tai funktioina riippuen siitä, kumpi on tarkoituksellisempaa. Valitsemalla p(x):n määritelmässä, että rengas R on reaalilukurengas, saadaan peruskoulusta tutut polynomit.

Suurinta lukua n, jolla a_n ≠ 0 kutsutaan polynomin asteeksi. Alla esiintyvien laskulakien säilyttämiseksi myös nollapolynomin tapauksessa määritellään sille erikseen, että aste = -∞. Polynomin f(x) astetta merkitään deg(f(x)), joka selkeyden vuoksi usein lyhennetään muotoon deg f(x). Asteet toteuttavat muun muassa seuraavat laskulait:

$\deg f(x) g(x) \leq \deg{f(x)} + \deg{g(x)}$
$\deg (f(x) + g(x)) \leq \max \{ \deg{f(x)}, \deg{g(x)} \}$

Mikäli kyseessä oleva rengas on lisäksi kokonaisalue, on säännössä 1 voimassa yhtäsuuruus.

Lyhyillä polynomeilla on omat erityisnimityksensä. Polynomia, jolla on yksi termi, kutsutaan monomiksi. Kaksitermistä polynomia kutsutaan binomiksi ja kolmitermistä trinomiksi.

[muokkaa] Reaali- ja kompleksipolynomit

Analyysissä käsitellyt polynomifunktiot yli $\mathbb{C}$ :n ja $\mathbb{R}$ :n ovat tärkeä sileiden funktioiden aliluokka. Sileät funktiot ovat funktioita, joilla on kaikkien kertalukujen derivaatat.

Polynomien arvoja on helppo määrittää johtuen polynomien yksinkertaisesta rakenteesta. Polynomeja käytetäänkin paljon numeerisessa analyysissä, jossa polynomeilla voidaan approksimoida funktioita ja siten funktioille voidaan määrittää vaikkapa numeerisia integraaleja.

Tietokoneiden numeerisessa laskennassa polynomifunktiot on usein korvattu kehittyneemmillä splineillä. Splinit ovat paloittain määriteltyjä polynomeja ja ne tarjoavat joustavamman tavan approksimoida sileitä funktioita kuin polynomit. Splinejä käytetään splini-interpoloinnissa ja tietokonegrafiikassa.

[muokkaa] Katso myös

Algebran peruslause, jonka mukaan kompleksilukujen kunnassa jokaisella polynomilla, jonka aste on suurempi kuin nolla, on nollakohta.

[muokkaa] Polynomeja matematiikan eri aloilta

Lineaarialgebrassa neliömatriisin karakteristinen polynomi pitää sisällään useita tärkeitä matriisin ominaisuuksia.

Verkkoteoriassa verkon muuttujan x kromaattiset polynomit kertovat kuinka monella tavalla verkko voidaan värittää x värillä.

Kombinatoriikassa käytetään generoivia funktioita, joita käyttäen monet kombinatoriset tarkastelut voidaan palauttaa polynomien käsittelyksi. Tarkastellaan esimerkin vuoksi vaaleja, jossa erässä vaalipiirissä on ehdolla kaksi vasemmiston ehdokasta. Tällöin vaaleja edustaa generoiva funktio f(x) = 1 + 2x + x², jossa siis x^k:n kerroin kertoo, kuinka monella tavalla k vasemmistolaista voidaan valita. Jos jossain toisessa vaalipiirissä on myös ehdolla kaksi ehdokasta, tässä vaalipiirissä vaaleja edustaa myös f(x). Vastaus kysymykseen, kuinka monella tavalla näissä kahdessa vaalipiirissä yhdessä voidaan valita s vasemmistolaista saadaan tulopolynomin astetta s olevan termin kertoimesta.

[muokkaa] Polynomien yleistyksiä

Yllä polynomi määriteltiin siten, että alin esiintyvä x:n eksponentti on 0. Joissain tilanteissa on kätevää ottaa mukaan myös negatiiviset eksponentit, jolloin saadaan muotoa $a_{-m}x^{-m}\cdots + a_{-1}x^{-1} + a_0 + a_1 x+ \cdots + a_n x^n$ olevia lausekkeita. Tällaisia yleistettyjä polynomeja kutsutaan Laurentin polynomeiksi.

Toinen mahdollinen yleistys ovat usean muuttujan polynomit, joiden yleinen muoto on $\sum_{j_1 + \cdots + j_k = 0}^{n} a_{j_1,j_2,\dots,j_k} x_1^{j_1} \cdots x_k^{j_k}$ . Hyväksymällä summauksen aloittaminen negatiivisesta luvusta saadaan usean muuttujan Laurentin polynomit.