Corps de décomposition

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En mathématiques et plus précisément en algèbre dans la théorie de Galois, le corps de décomposition d'un polynôme P[X] est la plus petite extension de corps contenant toutes les racines de P[X]. On montre qu'une telle extension existe toujours.

Un corps de décomposition d'un polynôme est une extension finie. S'il est séparable alors il est normal. Le corps de décomposition est alors une extension de Galois.

Toute la théorie de Galois s'applique, un tel corps bénéficie de théorèmes puissants, comme le théorème de l'élément primitif ou le théorème fondamental de la théorie de Galois. De nombreux problèmes se résolvent alors à l'aide de cette structure. On peut citer par exemple le théorème d'Abel ou la détermination des polygones constructible à la règle et au compas.

Sommaire

1 Définition
2 Exemples
3 Propriétés
4 Voir aussi
- 4.1 Liens externes
- 4.2 Références

[modifier] Définition

Les notations suivantes sont utilisées pour tout l'article, soit K un corps P[X] un polynôme à coefficients dans K et Ω la clôture algébrique de K.

Il existe une plus petite extension de corps L sur K tel que le polynôme P[X] soit scindé (c'est à dire qu'il soit le produit de polynômes du premier degré) sur L. Minimal signifie ici que toute extension F contenant toutes les racines de P[X] est une extension de L. Cette extension est appelée corps de décomposition de P[X].

Soit (l₁, ..., l_n) une famille f d'éléments algébriques de Ω. Le plus petit corps de Ω contenant la famille et K est noté K(l₁, ..., l_n) et est appelé le corps généré par la famille f.

L est isomorphe à un sous-corps de Ω, il est donc possible d'identifier K à et L à des sous-corps de Ω comme le prouve le paragraphe Extension algébrique et clôture algébrique. Cette identification est réalisée dans le reste de l'article.

Si r₁, ..., r_n sont les racines de P[X], alors L s'identifie à K(r₁, ..., r_n). La démonstration de l'existence du corps de décomposition se trouve dans le paragraphe Extension algébrique et polynôme.

Remarque: Il existe une autre convention, le corps de décomposition d'un polynôme P[X] sur K désigne toute extension contenant toutes les racines de P[X], le corps minimal est alors appelé le corps des racines.

[modifier] Exemples

Le corps de décomposition du polynôme X²+1 sur le corps des nombres réels est le corps des nombres complexes.

Construisons alors le corps de décomposition L du polynôme P[X] = X³ - 2 sur le corps des nombres rationnels. Soit r la racine cubique de deux, et j la racine cubique de l'unité ayant une composante imaginaire positive. Alors les deux autres racines sont j.r et j².r. Aucune racine n'est rationnelle donc le polynôme est irréductible (en effet tout polynôme de degré trois qui n'est pas irréductible possède une racine rationnelle).

Considérons l'extension K₁ égal à Q(r), c'est à dire l'extension engendrée par r. Comme P[X] est irréductible, c'est une extension de dimension trois isomorphe à Q/P[X] (cf le paragraphe Extension algébrique et polynôme et dont une base est donnée par (1, r, r²).

Sur K₁ le polynôme P[X] possède une racine r. Une division de P[X] par le polynôme X - r donne l'égalité:

$P[X]=(X-r)(X^2 + r.X + r^2)=(X-r)(X+(1/2 + s).r)(X+r(1/2 -s).r)\quad avec \; s= \frac{\sqrt{3}}{2}i \;$

On en déduit que L est égal à K₁(s) qui est une extension de dimension deux de K₁ et dont une base est donnée par (1, s).

On a l'égalité sur les dimensions [L:Q] =[L:K₁].[K₁:Q]= 3 x 2 = 6 (cf Définitions et premières propriétés des extensions algèbriques). On en déduit une base de L (1, r, r²,s ,s.r, s.r²).

Remarque: La méthode présentée ici est générique, elle peut être utilisé pour batir des corps de décompositions.

[modifier] Propriétés

Un corps de décomposition est fini

Cette propriété est démontrée dans le paragraphe Extension algébrique et sur-corps.

Soit deux corps de décomposition de P[X] sur un corps K, alors ils sont isomorphes.

Cette propriété est démontrée dans le paragraphe Extension algébrique et sur-corps.

Si un corps de décomposition est généré par des éléments séparables, alors il est séparable et simple.

Le corps de décomposition est fini, s'il est engendré par des éléments séparables alors le théorème de l'élément primitif s'applique. En conséquence, l'extension est séparable et simple.

Si le corps de décomposition est séparable et P[X] irréductible, alors il est galoisien.

Soit (r₁,...,r_n) les racines de P[X]. Alors L est égal à K(r₁,...,r_n). Tout morphisme de L dans Ω permute les racines, donc laisse stable L ce qui montre que l'extension est normale. L est une extension séparable et normale, elle est donc de Galois.