Corps des fractions

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En théorie des anneaux, le corps des fractions d'un anneau commutatif intègre A est le plus petit corps (à un isomorphisme près) contenant A.

Sa construction est une généralisation à un anneau de la construction du corps des rationnels à partir de l'anneau des entiers relatifs. Appliqué à l'anneau des polynômes, il permet la construction de son corps des fractions rationnelles

[modifier] Construction

On définit sur E = A × A* deux lois internes et une relation d'équivalence compatible avec ces deux lois.

une addition : pour tout (a , b) et (c , d) de E , (a , b) + (c , d) = (ad + cb , bd)
une multiplication : pour tout (a , b) et (c , d) de E, (a , b) . (c , d) = (ac , bd)

L'existence de ces deux lois est fortement subordonnée au fait que l'anneau soit intègre car il faut pouvoir y définir bd. Ces deux lois sont bien

internes
commutatives car ad + cb = cb + ad et bd = db . On voit ici l'importance de prendre un anneau commutatif.
associatives

mais les éléments n'y sont pas toujours inversibles ni pour +, ni pour . . De plus, la multiplication n'y est pas distributive pour l'addition.

La relation ~ définie par (a , b) ~ (c , d) ssi ad = bc est bien symétrique, réflexive et transitive (car l'anneau est intègre) . On montre aisément qu'elle est bien compatible avec les deux lois.

On appelle alors $\frac{a}{b}$ la classe de (a , b). On remarque alors que, pour tout c non nul,

$\frac{ca}{cb}=\frac{a}{b}$ (propriété reconnaissable de la simplification de fraction)

On peut alors définir, sur l'ensemble des classes d'équivalence, les deux lois induites par les lois précédentes. Elles conservent leur propriétés précédentes mais gagnent en outre

la distributivité car

$\frac{a}{b}\frac{e}{f} + \frac{c}{d}\frac{e}{f}=\frac{aedf + cebf}{bfdf} = \frac{(ad + cb)e}{bdf}$ (par simplification par f )

$\frac{a}{b}\frac{e}{f} + \frac{c}{d}\frac{e}{f}=(\frac{a}{b}+ \frac{c}{d})\frac{e}{f}$

Les éléments neutres pour les deux lois car

$\frac ab + \frac 0d = \frac {ad}{bd} = \frac ab$

$\frac ab \times \frac cc = \frac{ac}{bc} = \frac ab$

les éléments inversibles car
- $\frac{a}{b} + \frac{-a}{b} = \frac{0}{b^2}$ élément neutre pour l'addition
- pour tout a non nul, $\frac{a}{b}\times \frac{b}{a}= \frac{ab}{ab}$ élément neutre pour la multiplication

L'ensemble ainsi construit devient alors un corps commutatif noté K(A)

[modifier] Injection

L'application i de A dans K(A) qui, à l'élément a, associe $\frac{a}{1}$ est un morphisme injectif qui plonge l'anneau A dans son corps de fractions.

[modifier] Propriété universelle

Pour tout corps L et tout homomorphisme injectif $f \,$ de A dans L, il existe un unique homomorphisme $\tilde f$ de K(A) dans L tel que $f = \tilde f \circ i$

La seule façon de créer $\tilde f$ est de définir $\tilde f \left(\frac{a}{b}\right)$ par $\tilde f \left(\frac{a}{1}\right).\tilde f \left(\frac{b}{1}\right)^{-1} = \frac{f(a)}{f(b)}$ . Il suffit ensuite de prouver que cette construction est indépendante du représentant choisi et que $\tilde f$ est bien un morphisme injectif.

[modifier] Unicité

Il est évident d'après la propriété universelle, que K(A) est le plus petit corps contenant A. En effet, si L est un autre corps contenant A, il existe un morphisme injectif de A dans L donc un morphisme injectif de K(a) dans L.