Corpo de frações
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Seja (A,+,*) um anel. Sob que condições podemos construir uma extensão (B,+,*) que seja um corpo? Se a resposta for afirmativa, B será chamado de o corpo de frações de A.
[editar] Construção
Como (B,+,*) é um corpo, temos que a multiplicação é comutativa. Então, em (A,+,*), a multiplicação também deve ser comutativa.
Como B não pode ter divisores de zero, segue que A também não pode ter divisores de zero.
Para que A seja um subconjunto de B, deve ser possível representar cada elemento de A como uma divisão de elementos de A. Uma condição suficiente para isso é que a multiplicação em A tenha elemento neutro 1.
As três condições acima (anel comutativo, sem divisores de zero, e com elemento neutro multiplicativo) caracterizam um domínio de integridade.
Como os elementos de B tem a forma 
para 
, vamos iniciar a construção de B pelo conjunto de pares ordenados 
.
Define-se, em 
:
Essas operações estão bem definidas, porque A não tem divisores de zero, logo 
Lembrando que 
, temos que considerar em a relação 
definida por 
.
Prova-se que é uma relação de equivalência em 
. Além disso, é possível provar que as operações de soma e produto definidas em estão bem definidas no conjunto quociente 
.
A projeção 
definida por ![\pi(x) = [ (x, 1) ]\,](../../../math/2/c/5/2c59db0a7b9f0dc665794d0124c231f4.png)
é um isomorfismo entre A e 
.
Finalmente, basta provar as propriedades de corpo para finalizar a construção.
