Espace préhilbertien

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Un espace préhilbertien est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ ou sur $\mathbb{C}$ muni d'une norme associée à un produit scalaire.

Lorsqu'il est complet, on l'appelle espace hilbertien.
Lorsqu'il est réel et de dimension finie, on l'appelle espace euclidien.
Lorsqu'il est complexe et de dimension finie, on l'appelle espace hermitien.

Sommaire

1 Exemples
2 Les propriétés des espaces préhilbertiens

[modifier] Exemples

L'ensemble des fonctions réelles définies et continues de [a,b] dans $\mathbb{R}$ muni du produit scalaire :

$\langle f , g \rangle = \int_a^b f(t) g(t) \, dt$

forme un espace préhilbertien.

[modifier] Les propriétés des espaces préhilbertiens

Un certain nombre de propriétés sont partagées par tous les espaces préhilbertiens, qu'ils soient réels ou complexes, de dimension finie ou non. Mais certaines propriétés sont propres à la dimension finie, d'autres au caractère réel du corps de base. Le but de ce paragraphe est de trier ces propriétés selon leur catégorie. Le lecteur est censé posséder les connaissances contenues dans l'article produit scalaire.

[modifier] Propriétés communes

Les propriétés ne faisant pas appel au caractère réel ou complexe du corps de base ou à la dimension finie ou non de l'espace sont les suivantes.

Le fait d'être un espace vectoriel normé, au moyen de la norme euclidienne $\|x\| = \sqrt{(x|x)}$ .
L'inégalité de Cauchy-Schwarz : $|(x|y)|\le||x||.||y||$
L'inégalité de Minkowski dite aussi inégalité triangulaire : $\|x+y\| \le \|x\| + \|y\|$
Le théorème de Pythagore : si $x$ et $y$ sont orthogonaux, alors $\|x+y\|^2 =\|x\|^2 + \|y\|^2$
L'identité du parallélogramme : $\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2 \|y\|^2$
Le fait qu'un sous-espace vectoriel et son orthogonal soient en somme directe.

[modifier] Propriétés propres au cas réel

La réciproque du théorème de Pythagore : si $\|x+y\|^2 =\|x\|^2 + \|y\|^2$ , alors $x$ et $y$ sont orthogonaux. Dans le cas complexe, on a seulement $\Re(x|y) = 0$ (où $\Re$ désigne la partie réelle), et non $(x | y) = 0$ .

[modifier] Propriétés vraies en dimension finie

Le fait qu'un sous-espace vectoriel et son orthogonal soient supplémentaires. En dimension infinie, bien qu'étant en somme directe, la somme d'un sous-espace et de son orthogonal peut ne pas redonner l'espace total.
Le fait que l'orthogonal de l'orthogonal d'un sous-espace soit égal à ce sous-espace. En dimension infinie, le second peut être strictement inclus dans le premier.
Le fait que toute forme linéaire $f$ puisse être définie à partir du produit scalaire : il existe $y$ tel que $\forall x, f(x) = (y|x)$ . Cette propriété est essentielle pour pouvoir définir l'adjoint d'un endomorphisme. En dimension infinie, une forme linéaire sur un espace préhilbertien peut ne pas pouvoir être définie d'une telle façon.
Le fait d'être un espace normé complet (ou espace de Banach). Un espace préhilbertien de dimension infinie peut ne pas être complet.

En dimension infinie, les espaces de Hilbert sont des espaces préhilbertiens particuliers comblant les lacunes des espaces préhilbertiens. Leurs propriétés sont très proches des espaces euclidiens de dimension finie.

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[modifier] Les propriétés des espaces préhilbertiens

[modifier] Propriétés communes

[modifier] Propriétés propres au cas réel

[modifier] Propriétés vraies en dimension finie

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