Fraction (mathématiques)

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Mathématiques élémentaires

[modifier] Sens usuel de la fraction

[modifier] Définition de la fraction

Une fraction est une division non effectuée entre deux nombres entiers relatifs n et d. Elle est représentée comme suit :

n/d ou ⁿ⁄_d ou $\frac{n}{d}$

Le nombre du haut s'appelle le numérateur............ n
Le nombre du bas s'appelle le dénominateur......... d
Le trait ou barre de fraction signifie que l'on divise le numérateur par le dénominateur.

Exemple : 3/7 signifie que l'on divise 3 par 7; on prononce cette fraction « trois septièmes » et c'est pour cela que 3 est le numérateur parce qu'il indique un nombre de trois unités (les septièmes) alors que 7 est le dénominateur parce qu'il dénomme l'unité (le septième) avec laquelle on travaille.Si on mange les 3/7 d'une tarte, le numérateur 3 indique le nombre de parts que l'on mange alors que 7 indique la taille de chaque part, donc l'unité considérée...

On trouve aussi parfois la notation

n : d

ou encore

n ÷ d

les deux points remplaçant la barre de fraction (cette notation est à éviter).

[modifier] Dessiner une fraction

[modifier] Fractions dont n < d

La fraction peut être représentée par un dessin. Bien souvent une forme géométrique que l'on divise en plusieurs parties.
1° Le dénominateur d indique le nombre de parties égales à dessiner dans la forme géométrique.
2° Le numérateur n indique le nombre de parties égales utilisées.
Exemple :
Choisissons un rectangle comme forme géométique et la fraction ³⁄₄
Le dénominateur est 4 donc le rectangle sera divisé en 4 parties égales

Le numérateur est 3 donc seules 3 parties égales seront utilisées.

Autre possibilté : $Image:fraction3_4.svg$

[modifier] Fractions dont n > d

Cette fraction sera équivalente au quotient de n/d, (qui représentera le nombre d'unité) suivi d'une fraction constituée par le reste de la division pour numérateur et d pour dénominateur.

Exemple : pour la fraction 7/3, la division entière donne 2, il reste 1.

Le quotient est 2 donc 2 unités, le reste 1 donc 2 ⅓.

Il est impossible de représenter ce genre de fraction par un schéma unique, nous utiliserons dès lors plusieurs formes géométrique similaires:

[modifier] Prendre une fraction d'une quantité

Pour prendre les ²⁄₃ de 750, on divise 750 par 3, puis on multiplie le résultat par 2:

750÷3 = 250 ; 250 × 2 = 500. Donc ²⁄₃ de 750 = 500

Prendre ^a⁄_b de c revient à diviser c par b et à multiplier le tout par a.

[modifier] Fractions équivalentes

Si on multiplie, ou divise, le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même nombre, on obtient une fraction équivalente.

Exemple : $Image:fraction2_3.svg$

De manière générale, les fractions ⁿ⁄_d et ^n'⁄_d' sont équivalentes dès que n × d' = d × n'.

Exemple : $Image:fraction6_9.svg$

$\frac{4}{6}=\frac{6}{9}$ car $6 \times 6 = 4 \times 9\,$ (on appelle ces deux produits les produits en croix).

Certaines fractions peuvent être simplifiées, c'est-à-dire que n et d peuvent être divisés par un même nombre mais le plus grand possible. Ce nombre s'appelle le PGCD (plus grand commun diviseur) de n et d. Après réduction, la fraction est dite irréductible.

Pour effectuer certaines opérations entre fractions, tous les dénominateurs des fractions doivent être égaux. Pour ce faire, il faut remplacer chaque fraction par une fraction équivalente, en s'arrangeant pour que tous les dénominateurs soient identiques. Ce dénominateur sera le plus petit nombre possible qui soit divisible par chaque dénominateur. Ce nombre s'appelle le PPCM (plus petit commun multiple) des dénominateurs. L'opération s'appelle réduire au même dénominateur
Exemple :

$\frac{3}{4}=\frac{3 \times 3\times 3\times 5}{4 \times 3\times 3\times 5}= \frac{135}{180}$
$\frac{1}{6}=\frac{1 \times 2\times 3\times 5}{6 \times 2\times 3\times 5}= \frac{30}{180}$
$\frac{5}{9}=\frac{5 \times 2\times 2\times 5}{9 \times 2\times 2\times 5}= \frac{100}{180}$
$\frac{14}{15}=\frac{14 \times 2\times 2\times 3}{15 \times 2\times 2\times 3}= \frac{168}{180}$

[modifier] Comparaison de fractions

Pour un même numérateur, plus le dénominateur est petit plus la fraction est grande.

Exemple : $Image:fraction_comp1.svg$

$\frac{2}{3} > \frac{2}{5}$

Le numérateur 2 est le même pour chaque fraction.

La comparaison des dénominateurs donne 3 < 5

Pour un même dénominateur, plus le numérateur est grand, plus la fraction est grande :

Exemple : $Image:fraction_comp2.svg$

$\frac{2}{7} < \frac{5}{7}$

Le dénominateur 7 est le même pour chaque fraction.

La comparaison des dénominateurs donne 2 < 5

Si les numérateurs et les dénominateurs sont différents, on peut toujours réduire les fractions au même dénominateur et comparer alors les numérateurs : Comparaison de 1/4 et 2/5

1/4 =5/20 et 2/5 = 8/20. Or 5 < 8 donc 5/20 < 8/20 donc 1/4 < 2/5

rem: On peut aussi utiliser l'écriture décimale:

1/4 = 0,25 et 2/5 = 0,4.

0,25 < 0,4 donc ¹⁄₄ < ²⁄₅

[modifier] Ecriture décimale, écriture fractionnaire

Toute fraction possède un développement décimal fini ou illimité périodique qui s'obtient en posant la division de n par d.

1/4 = 0,25

2/3 = 0,666...(période 6)

17/7 = 2,428571428571...(période 428571)

Inversement, tout nombre décimal ou possédant un développement décimal périodique peut s'écrire sous forme de fraction.

[modifier] Cas du nombre décimal

Il suffit de prendre comme numérateur le nombre décimal privé de sa virgule et comme dénominateur 10ⁿ où n est le nombre de chiffres après la virgule:

$0,256 = \frac{256}{1000}=\frac{32}{125}$

$15,16 = \frac{1516}{100}=\frac{379}{25}$

[modifier] Cas du développement décimal illimité

On commence par se débarrasser de la partie entière: 3,4545... = 3 + 0,4545...

[modifier] cas du développement décimal périodique simple

Un nombre périodique simple est un nombre décimal dans lequel la période commence immédiatement après la virgule.
0,666 ou 0,4545 ou 0,108108
Comme numérateur, il suffit d'utiliser la période tandis que le dénominateur sera composé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres composant la période.
Exemple : 0,4545
Période 45 donc numérateur = 45
Période composée de deux chiffres donc dénominateur = 99
Fraction = 45/99 ou 5/11

par conséquent: 3,4545... = 3 + 5/11 = 38/11

[modifier] Cas du développement décimal périodique mixte

Un nombre décimal périodique mixte est un nombre décimal dans lequel la période ne commence pas immédiatement après la virgule.
0,8333 ou 0,14666
Pour trouver le numérateur de la fraction, il faut soustraire la valeur mixte de la valeur mixte suivie de la première période. Exemple : 0,36981981...
valeur mixte : 36
Valeur mixte suivie de la première période : 36981
Numérateur = 36981 - 36 = 36945
Quant au dénominateur, il sera composé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres composant la période, suivis d'autant de zéros qu'il y a de chiffres après la virgule composant la valeur mixte.

Exemple 1 : dans la valeur 0,36981981, la période 981 est constituée de 3 chiffres donc le dénominateur sera constitué d'une série de trois 9 suivis de deux zéros puisque la valeur mixte 36 est composée de deux chiffres. Finalement nous aurons :
0,36981981 = 36945/99900 ou 821/2220

Exemple 2 : $1,24545...= \frac{1245-12}{990}=137/110$

[modifier] Opérations sur les fractions

[modifier] Addition et soustraction

[modifier] Pour un dénominateur commun

Il suffit d'additionner ou de soustraire le numérateur de chaque fraction et de conserver le dénominateur commun.

Exemple d'une somme :

$Image:fraction_sum2.svg$

Exemple d'une différence :

[modifier] Pour un dénominateur différent

Avant d'effectuer l'opération, chaque fraction doit être transformée en une fraction équivalente dont le dénominateur leur soit commun.
Exemple : $Image:fraction_sum3.svg$

$A = \frac{1}{6} + \frac{4}{9}$

$A = \frac{3}{18} + \frac{8}{18}$

$A = \frac{11}{18}$

[modifier] Multiplication

La multiplication de deux fractions est simple à effectuer mais il n'est pas simple de comprendre pourquoi elle fonctionne ainsi.

$\frac {2}{15} \times \frac {7} {11} = \frac {2 \times 7} {15 \times 11} = \frac {14} {165}$

En voici une explication, basée sur une compréhension intuitive des fractions.

On peut comprendre sept onzièmes comme sept fois un onzième (voir les représentations graphiques ci-dessus) soit $\frac {7} {11}$ comme ${7} \times \frac {1}{11}$ . Ainsi multiplier $\frac {2}{15}$ par $\frac {7} {11}$ revient à effectuer $\frac {2}{15} \times 7 \times \frac {1} {11} = \frac {2 \times 7}{15} \times \frac {1}{11}$ .
Mais multiplier par un onzième revient à diviser par 11, c'est-à-dire à multiplier le dénominateur par 11 (les parts sont 11 fois plus petites), soit $\frac {2 \times 7} {15 \times 11}$ .

[modifier] Division

L'inverse de la fraction $\frac nd$ (pour n non nul) est la fraction $\frac dn$ . L'inverse de $\frac 23$ est $\frac 32$ .

Diviser par une fraction c'est multiplier par son inverse :

$\frac{\frac 56}{\frac 23} = \frac 56 \times \frac 32 = \frac {15}{12} = \frac 54$

[modifier] Petits Problèmes

[modifier] Problèmes historiques

J’ai trouvé une pierre mais je ne l’ai pas pesée. Après lui avoir ajouté un septième de son poids et avoir ajouté un onzième du résultat, j’ai pesé le tout et j’ai trouvé : 1 ma-na [unité de masse]. Quel était à l’origine le poids de la pierre ? (problème babylonien, tablette YBC 4652, problème 7)
Un nombre augmenté de son septième donne 19. Quel est ce nombre ? (papyrus Rhind, problème 24)
Un nombre augmenté de son quart donne 15. Quel est ce nombre ? (papyrus Rhind, problème 26)
Supposons que l’on ait 9 tiges d’or jaune et 11 tiges d’argent blanc qui, à la pesée, ont des poids tout justes égaux. Si l’on échange entre elles une de leurs tiges, l’or devient plus léger de 13 liang [unité de masse]. On demande combienpèsent respectivement une tige d’or et une tige d’argent. (les Les neuf chapitres sur l'art mathématique, problème 7.17)
Une lance a la moitié et le tiers dans l’eau et neuf paumes à l’extérieur. Je te demande combien elle a de long. (problème médiéval)

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