Harmonique sphérique

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Définition : on appelle harmoniques sphériques, les fonctions $Y_l^m (\theta , \varphi)$ définies sur la sphère unité, et orthonormées sur cette sphère avec la mesure uniforme dS sur la sphère.

Puisqu'elles forment une base orthogonale sur la sphère unité, une fonction continue ƒ(θ,φ) se décompose en une série :

$f(\theta , \varphi) = \sum_{l = 0}^{+\infty} \sum_{m = -l}^{+l} C_l^m \cdot Y_l^m (\theta , \varphi)$

où l' et m sont des indices entiers, C_l^m est un coefficient constant et souvent en mathématiques prend le nom de coefficient de Fourier généralisé relativement à cette base.

En effet, le développement en harmoniques sphériques est l'équivalent, appliqué aux fonctions angulaires, du développement en séries de Fourier pour les fonctions périodiques.

Les harmoniques sphériques sont utilisées dans tout domaine où une valeur change en fonction de l'orientation (anisotropie) : en acoustique (reconstitution de l'effet d'espace par plusieurs haut-parleurs), en géophysique (représentation du globe terrestre, champ de gravitation, en météorologie) et en physique quantique (développement d'une fonction d'onde, densité du nuage électronique), en cristallographie pour la texture),etc.
Il existe bien sûr des harmoniques sphériques généralisées,sur la sphère S_{3 _.}

Sommaire

1 Dans le plan (harmoniques circulaires)
- 1.1 Polynômes de Legendre
- 1.2 Représentation graphique
2 Dans l'espace
3 Harmoniques sphériques généralisées
4 Bibliographie
5 Voir aussi
- 5.1 Liens externes

_{[modifier] Dans le plan (harmoniques circulaires)}

_{Dans le plan, la décomposition s'écrit :}

_{Y₀ est une fonction constante, la courbe représentatrice en coordonnées polaires r = Y₀(θ) est donc un cercle de rayon r₀.}

Y_l est une fonction invariante par une rotation d'un angle de 1/(l+1) tour, c'est-à-dire que

$Y_l \left (\theta + \frac{2 \pi}{l+1}\right ) = Y_l (\theta)$

on dit que Y_l admet une symétrie d'ordre l+1.

[modifier] Polynômes de Legendre

Pour les harmoniques circulaires, on utilise des polynômes P_l de la fonction cosinus :

Y l (θ) = P l (cosθ)

Les polynômes P_l utilisés sont les polynômes de Legendre¹ :

$P_l(X) = \frac{1}{2^l \cdot l!} \cdot \frac{\partial^l}{\partial X^l}\left [ (X^2 - 1)^l \right ]$

(formule de Rodrigues, mathématicien français)

On obtient :

$P 0 (cosθ) = 1$ (fonction isotrope) ;
$P 1 (cosθ) = cosθ$ ;
$P_2(\cos \theta) = \frac{1}{4} \cdot (3\cdot \cos 2\theta +1)$ ;
$P_3(\cos \theta) = \frac{1}{8} \cdot (5\cdot \cos 3\theta + 3 \cdot \cos \theta)$ ;

Note

Adrien-Marie Legendre (1752-1833), mathématicien français

[modifier] Représentation graphique

On peut représenter les harmoniques circulaires de trois manières :

en coordonnées cartésiennes : $y = Y l (θ)$ ;
en coordonnées polaires : $r = r_0 + r_1 \cdot Y_l(\theta)$
avec r₁ < r₀, utilisé par exemple pour un objet circulaire ; la courbe coupe le cercle de centre O et de rayon r₀ lorsque la fonction s'annule ;
en coordonnées polaires : $r = | Y l (θ) | 2$
utilisé par exemple pour les fonctions d'onde en physique quantique.

Trois premières harmoniques circulaires
	Représentation cartésienne	Représentations polaires (tracé manuel)
Y₁
Y₂
Y₃

Représentations polaires, tracé exact

[modifier] Dans l'espace

Comme indiqué ci-dessus, une fonction ƒ(θ,φ) se décompose selon

$f(\theta , \varphi) = \sum_{l = 0}^{+\infty} \sum_{m = -l}^{+l} C_l^m \cdot Y_l^m (\theta , \varphi)$

où C_l^m est un coefficient constant ; Y_l^m est la partie réelle d'une fonction complexe Y_l^m

$Y_l^m(\theta) = Re \left ( \underline{Y_l^m}(\theta) \right )$

Y_l^m est appelée « fonction associée de Legendre » et est définie par

$\underline{Y_l^m}(\theta) = \sqrt{\frac{2 \cdot (l-m)!}{(l+m)!}} \cdot P_l^m (\cos \theta) \cdot e^{i m \varphi}$

où i est l'imaginaire et P_l^m est le polynôme de Legendre :

$P_l^m (X) = \frac{(-1)^m}{2^l \cdot l!} \cdot (1-X^2)^{m/2} \cdot \frac{\partial^{m+l}}{\partial X^{m+l}} \left [ (X^2 - 1)^l \right ]$

On a donc

$Y_l^m(\theta) = \sqrt{\frac{2 \cdot (l-m)!}{(l+m)!}} \cdot P_l^m (\cos \theta) \cdot \cos(m \varphi)$

On a par exemple :

$P_0^0(cos \theta) = 1$ (Y₀⁰ est isotrope) ;
$P_1^0(\cos \theta) = \cos \theta$ ;
$P_1^1(\cos \theta) = - \sin \theta$ ;
$P_3^1(\cos \theta) = \frac{3}{2} \cdot \sin \theta \cdot (-5 \cdot \cos^2 \theta + 1)$ ;

Les fonctions Y_l^m(θ,φ) présentent de plus en plus de symétries au fur et à mesure que l croît (sauf lorsque l = 0, puisque Y₀⁰ est une fonction constante et décrit donc une sphère).

Si l'on utilise la représentation sphérique

$\rho = \rho_0 + \rho_1 \cdot Y_l^m (\theta,\varphi)$

alors la surface représentatrice est une sphère bosselée ; les bosses correspondent aux parties où Y_l^m est positif, les creux aux parties où Y_l^m est négatif. Lorsque θ et φ décrivent l'intervalle [0;2π[, Y_l^m(θ,φ) s'annule selon l cercles :

m cercles suivant un méridien, une iso-longitude (intersection entre un plan contenant Oz et la sphère) ;
l-m cercles suivant un parallèle, une iso-latitude (intersection entre un plan parallèle à Oxy et la sphère).

Le paramètre l est appelé le « degré », m est appelé l'« ordre azimutal ». Entre les cercles d'annulation, la fonction est alternativement positive ou négative.

Nous représentons ci-dessous quatre coupes de l'harmonique sphérique Y₃² :

Comme précédemment, on peut représenter la fonction par la courbe en coordonnées sphériques

$\rho = |Y_l^m(\theta,\varphi)|^2$

$Y_3^2$

$\rho = \rho_0 + \rho_1 \cdot Y_3^2 (\theta,\varphi)$ les parties en blanc sont positives, en bleu négatives	$\rho = \|Y_3^2(\theta,\varphi)\|^2$

[modifier] Harmoniques sphériques généralisées

Lorsque l'on considère l'orientation d'un objet dans l'espace, il faut faire appel à trois angles ; on utilise en général les angles d'Euler (ψ,θ,φ).

Considérons une fonction continue de l'orientation ƒ(ψ,θ,φ) ; comme précédemment, cette fonction peut être décomposée en harmoniques sphériques généralisées

$f(\psi,\theta,\varphi) = \sum_{l = 0}^{+\infty} \sum_{m = -l}^{+l} \sum_{n = -l}^{+l} C_l^{mn} \cdot Y_l^{mn} (\psi,\theta,\varphi)$

où C_l^mn est une constante. La fonction Y_l^mn s'écrit :

$Y_l^{mn}(\psi,\theta,\varphi) = e^{i m \varphi} \cdot P_l^{mn}( \cos \theta) \cdot e^{i n \psi}$

Le polynôme P_l^mn est le polynôme de Legendre généralisé

$P_l^{m n} (X) = \frac{(-1)^{l-m} \cdot i^{n-m}}{2^l \cdot (l-m)!} \cdot \left [ \frac{(l-m)! (l+n)!}{(l+m)! (l-n)!} \right ]^{1/2} \cdot (1-X)^{-\frac{n-m}{2}} \cdot (1+X)^{-\frac{n+m}{2}} \cdot \frac{\partial^{l-n}}{\partial X^{l-n}} \left [ (1-X)^{l-m} (1+X)^{l+m} \right ]$

Quand X décrit l'intervalle [-1;1], cette fonction P_l^mn est soit réelle, soit imaginaire pure. Y₀⁰⁰(ψ,θ,φ) est la fonction isotrope (symétrie sphérique).

D'après la loi de composition des rotations, on a :

$Y_l^{mn}(\psi_1 + \psi_2, \theta_1 + \theta_2, \varphi_1 + \varphi_2) = \sum_{s = -l}^{+l} Y_l^{ms}(\psi_1, \theta_1, \varphi_1) \cdot Y_l^{sn}(\psi_2, \theta_2, \varphi_2)$

et en particulier

$P_l^{mn}(\cos (\theta_1 + \theta_2)) = \sum_{s = -l}^{+l} P_l^{ms}(\cos \theta_1) \cdot P_l^{sn}(\cos \theta_2)$

On a de manière générale :

$P_l^{mn} = P_l^{nm} = P_l^{-m -n}$

Par exemple pour l = 1 :

$P_1^{mn}(\cos \theta)$
m	n
m	-1	0	+1
-1	$\frac{1}{2} (1+\cos \theta)$	$-\frac{i}{\sqrt{2}} \sin \theta$	$\frac{1}{2} (\cos \theta - 1)$
0	$-\frac{i}{\sqrt{2}} \sin \theta$	$cosθ$	$-\frac{i}{\sqrt{2}} \sin \theta$
1	$\frac{1}{2} (\cos \theta - 1)$	$-\frac{i}{\sqrt{2}} \sin \theta$	$= \frac{1}{2} (1+\cos \theta)$

Pour l = 2 :

$P_2^{mn}(\cos \theta)$
m	n
m	-2	-1	0	+1	+2
-2	$\frac{1}{4} (\cos \theta + 1)^2$	$-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta + 1)$	$-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} (1 - \cos^2 \theta)$	$-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta - 1)$	$\frac{1}{4} (\cos \theta + 1)^2$
-1	$-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta + 1)$	$\frac{1}{2}(2 \cos^2 \theta + \cos \theta -1)$	$-\sqrt{\frac{3}{2}} i \sin \theta \cos \theta$	$\frac{1}{2}(2 \cos^2 \theta - \cos \theta -1)$	$-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta - 1)$
0	$-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} (1 - \cos^2 \theta)$	$-\sqrt{\frac{3}{2}} i \sin \theta \cos \theta$	$\frac{1}{2} (3 \cos^2 \theta -1)$	$-\sqrt{\frac{3}{2}} i \sin \theta \cos \theta$	$-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} (1 - \cos^2 \theta)$
1	$-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta - 1)$	$\frac{1}{2}(2 \cos^2 \theta - \cos \theta -1)$	$-\sqrt{\frac{3}{2}} i \sin \theta \cos \theta$	$\frac{1}{2}(2 \cos^2 \theta + \cos \theta -1)$	$-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta + 1)$
2	$\frac{1}{4} (\cos \theta + 1)^2$	$-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta - 1)$	$-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} (1 - \cos^2 \theta)$	$-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta + 1)$	$\frac{1}{4} (\cos \theta + 1)^2$

[modifier] Bibliographie

Texture analysis in materials science — Mathematical methods, H.-J. Bunge, éd. Butterworths, 1969 (1982 pour la trad. en anglais) : pour les harmoniques sphériques généralisées