Idéal maximal
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Un idéal maximal est un concept associé à la théorie des anneaux en mathématiques et plus précisement en algèbre.
Un idéal d'un anneau est dit maximal si, et seulement si, il n'est contenu que dans exactement deux idéaux lui-même et l'anneau tout entier.
Cette définition permet de généraliser la notion d'élément irréductible à des anneaux différents de celui des entiers relatifs. Ils ont un rôle important, particulièrement particulièrement en théorie algébrique des nombres et pour l'étude des polynômes.
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[modifier] Motivations
L'arithmétique demande parfois de travailler sur des anneaux complexes comme certains parmi les entiers algébriques. Les théorèmes habituellement utilisés pour batir la théorie, comme celui de la décomposition en facteurs premiers, n'est plus entièrement vérifié. Dans ce cas, l'unicité de la décomposition (à l'ordre et aux éléments inversibles près) n'est pas exacte.
Pour néanmoins pouvoir construire la théorie, un autre concept reste opérationnel : celui des idéaux. Les définitions valables pour les éléments, comme irréductible, premier, premiers entre eux dans leur ensemble, pgcd ou encore Plus petit commun multiple ont souvent des définitions équivalentes pour les anneaux.
La notion d'idéal maximal correspond à celle d'éléments irréductibles, largement utilisée dans la théorie des polynômes.
[modifier] Définitions
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- Un idéal maximal est un idéal tel qu'il existe exactement deux idéaux le contenant, lui-même et l'anneau entier.
- Un élément irréductible est un élément dont l'idéal engendré est maximal parmi les idéaux principaux.
La dernière définition est équivalente à la suivante:
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- Un élément irréductible est un élément tel que toute décomposition en deux facteurs contient un et un seul élément inversible.
[modifier] Exemples
[modifier] Entier relatif
Dans l'anneau des entiers relatifs, irréductible et premier sont deux notions équivalente. Les entiers irréductibles sont donc les nombres entiers que multiplie une unité à savoir 1 ou -1.
[modifier] Polynôme
C'est probablement la branche ou le terme d'irréductible est le plus utilisé. Comme dans le cas précédent, les termes d'irréductible et de premier sont équivalents pour les polynômes.
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- Un polynôme est irréductible si, et seulement, si toute décomposition en deux facteurs contient une constante et le degré de polynôme est différent de zéro.
[modifier] Cas des complexes
Dans le cas des complexes, un polynôme est irréductible si, et seulement si, il est de degré un. Ce résultat est démontré par le théorème de d'Alembert-Gauss.
[modifier] Cas des réels
Dans le cas des réels, un polynôme est irréductible si, et seulement si, il est de degré un ou il est de degré deux avec un discriminant négatif.
Pour s'en rendre compte, il suffit de décomposer le polynôme sur le corps des complexes. Si λ est une racine complexe alors son conjugué est aussi racine du polynôme, il suffit alors de multiplier les polynômes conjugués deux à deux pour obtenir une décomposition à coefficients réels.
[modifier] Cas des rationnels
Dans le cas des entiers rationnels, un polynôme irréductible peut être de degré quelconque. Par exemple le polynôme X3 - 2 est irréductible, sinon il existerait une racine cubique de deux rationnel. Or, un raisonnement de même nature que celui pour la racine carrée de deux montre qu'aucun rationnel n'est racine cubique de deux.
Dans le cas général, il n'est pas simple de déterminer si un polynôme sur le corps des rationnels est irréductible ou non. Le critère d'Eisenstein fournit une condition nécessaire mais pas suffisante.
[modifier] Cas des entiers relatifs
L'anneau des polynômes à coefficients dans les entiers relatifs n'est pas principal. En conclusion, les polynômes irréductibles n'engendrent pas toujours des idéaux maximaux. Ainsi le polynôme X est premier, cependant il est strictement inclu dans l'idéal engendré par X et deux.
Les cas rationnel et entier ont une importante similitude : un polynôme à coefficients entiers est irréductible si, et seulement si il l'est comme polynôme à coefficients rationnel (cf polynôme et division euclidienne).
[modifier] Cas des entiers algébriques
Comme dans le cas des polynômes à coefficients rationnels, il n'existe pas de critère général pour déterminer le caractère irréductible d'un entier algébrique.
Néanmoins dans tous les anneaux d'entiers algébriques, l'ensemble des éléments premiers est confondu avec celui des éléments irréductibles.
Dans quelques cas il existe des critères simples pour déterminer les éléments irréductibles, par exemple pour les nombres premiers de Gauss de l'anneau des entiers de Gauss ou pour les nombres premiers d'Eisenstein de l'anneau des entiers d'Eisenstein.
[modifier] Propriétés
[modifier] Anneau quotient
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- Un idéal I d'un anneau A est maximal si, et seulement si, le quotient A/ I est un corps.
En conséquence, tout idéal maximal est premier.
Cette propriété est largement utilisée en théorie de Galois, elle permet de définir des extensions algébriques.
Supposons que I soit maximal.
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- Soit a un élément de A non élément de I un idéal maximal. Alors I + a.A est un idéal contenant I, et donc est égal à A. Cela signifie qu'il existe un élément i de I et un élément b de A tel que i + a.b = 1. Cette égalité montre que la classe de a est inversible, d'inverse la classe de b. En conséquence, A / I est un corps.
Réciproquement, supposons que A / I soit un corps.
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- Soit J un idéal de A contenant strictement I et a un élément de J - I. La classe de a est un élément inversible donc il existe un élément b de A et un élément i de I tel que i + a.b = 1. Cette égalité montre que 1 est élément de J et donc J est égal à A, I est bien un idéal maximal.
[modifier] Anneau principal
Dans le cas d'un anneau principal, les notions d'irréductibilité et de primalité sont confondues. Le théorème suivant s'applique:
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- Si A est principal les propositions suivantes sont équivalentes :
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- (i) I est un idéal premier
- (ii) I est engendré par un élément p différent d'une unité et qui, s'il divise un produit a.b, divise soit a soit b.
- (iii) I est engendré par un élément p différent d'une unité et qui n'a d'autres diviseurs que lui-même et 1 aux éléments inversibles près
- (iv) I est maximal
La démonstration est donné dans l'article sur Idéal premier et anneau principal.
[modifier] Voir aussi
[modifier] Liens externes
- (fr) Idéaux, anneaux quotients par les-mathématiques.net
- (fr) Anneau et corps par Christian Squarcini
- (en) Prime Ideal sur planetmath.org
[modifier] Références
- S. Lang Algebre Dunod 2004
- D. Perrin Cours d'algèbre Ellipse 1996
- S. Mac Lane & G. Birkhoff ; Algèbre [détail des éditions]
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