Identité trigonométrique

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Une identité trigonométrique est une relation impliquant des fonctions trigonométriques et qui est vérifiée pour toutes les valeurs des variables intervenant dans la relation. Ces identités peuvent être utiles quand une expression comportant des fonctions trigonométriques a besoin d'être simplifiée. Elles constituent donc une « boîte à outils » utile pour la résolution de problèmes.

Les fonctions trigonométriques servent beaucoup en intégration, pour intégrer des fonctions «non trigonométriques»: un procédé habituel consiste à effectuer un changement de variable en utilisant une fonction trigonométrique, et à simplifier ensuite l'intégrale obtenue avec les identités trigonométriques.

Notation : avec les fonctions trigonométriques, nous définirons sin², cos², etc., les fonctions telles que pour tout réel x, sin²(x) = (sin(x))², ...

[modifier] À partir des définitions

$\tan (x) = \frac {\sin (x)} {\cos(x)} \qquad \operatorname{cotan}(x) = \frac{1} {\tan (x)} = \frac {\cos (x)} {\sin(x)}$

$\operatorname{sec}(x) = \frac{1} {\cos(x)} \qquad \operatorname{cosec}(x) = \frac{1} {\sin(x)}$

[modifier] Propriétés liées au cercle trigonométrique

Périodicité :

$\sin(x) = \sin(x + 2\pi) \qquad \cos(x) = \cos(x + 2\pi) \qquad \tan(x) = \tan(x + \pi)$

Parité, imparité :

$\sin(-x) = -\sin(x) \qquad \cos(-x) = \cos(x)$

$\tan(-x) = -\tan(x) \qquad \operatorname{cotan}(-x) = -\operatorname{cotan}(x)$

Symétries :

$\sin(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \qquad \cos(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) \qquad \tan(x) = \operatorname{cotan}\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$

$\sin(x + \pi) = -\sin(x) \qquad \cos(x + \pi ) = - \cos(x) \qquad \tan(x + \pi ) = \tan(x)$

$\sin(\pi - x) = \sin(x) \qquad \cos( \pi - x) = - \cos(x) \qquad \tan(\pi - x) = - \tan(x)$

Rotations

$\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)=\cos(x) \qquad \cos\left(x + \frac{\pi}{2} \right)= - \sin(x) \qquad \tan\left(x + \frac{\pi}{2} \right) = -\operatorname{cotan}(x)$

$\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)=- \cos(x) \qquad \cos\left(x - \frac{\pi}{2} \right)= \sin(x) \qquad \tan\left(x - \frac{\pi}{2} \right) = -\operatorname{cotan}(x)$

[modifier] À partir du théorème de Pythagore

$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \qquad \tan^2(x) + 1 = \sec^2(x) \qquad {\rm cotan}^2(x) + 1 = { \rm cosec}^2(x)$

[modifier] Équation trigonométrique

$\cos x = \cos a \Leftrightarrow x=a+2k\pi \quad ou \quad x=-a+2k\pi \qquad(k\in\mathbb{Z})$

$\sin x = \sin a \Leftrightarrow x=a+2k\pi \quad ou \quad x=\pi-a+2k\pi \qquad(k\in\mathbb{Z})$

$\tan x = \tan a \Leftrightarrow x=a+k\pi \qquad(k\in\mathbb{Z})$

[modifier] Formules d'addition et de différence

Le moyen le plus rapide pour retrouver ces formules est d'utiliser les formules d' Euler en analyse complexe.

$\sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \,$

$\sin (a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b \,$

$\cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \,$

$\cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b \,$

Un moyen mnémotechnique pour retenir : « Le cosinus est méchant : il ne sympathise pas avec les sinus, et de plus il change les signes ».

$\tan (a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} \,$

$\tan (a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} \,$

Une conséquence intéressante de ces égalités est qu'elles permettent de ramener la combinaison linéaire d'un sinus et d'un cosinus à un sinus:

$\alpha\sin wx+\beta\cos wx=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\cdot\sin(wx+\varphi)$

où

$\varphi={\rm arctan}(\beta/\alpha)$ si α est positif et $\varphi={\rm arctan}(\beta/\alpha) + \pi$ sinon

[modifier] Formules de duplication et d'angle moitité

[modifier] Formules de l'angle double

Appelées aussi formules d'angle double, elle peuvent être obtenues en remplaçant a et b par x dans les formules d'addition et en utilisant le théorème de Pythagore pour les deux dernières, ou bien en utilisant la formule de Moivre avec $n = 2\,\!$ .

$\sin 2x = 2 \sin x\cos x \,$

$\cos 2x= \cos^2 x - \sin^2 x = 2 \cos^2 x-1 = 1-2 \sin^2 x \,$

$\tan 2x = {2 \tan x \over 1 - \tan^2 x} = {2 \cot x \over \cot^2 x- 1} = {2 \over \cot x - \tan x} \,$

[modifier] Formules de réduction du carré

Ces formules permettent d'écrire $cos 2 (x)$ , $sin 2 (x)$ et $tan 2 (x)$ en fonction du cosinus de l'angle double.

$\cos^2(x) = {1 + \cos(2x) \over 2}$

$\sin^2(x) = {1 - \cos(2x) \over 2}$

$\tan^2(x) = {1 - \cos(2x) \over 1 + \cos(2x)}$

[modifier] Formules d'angle moitié

En remplaçant $x~$ par $\frac{x}{2}$ dans les formules de réduction des carrés, et ensuite en cherchant l'expression de $\cos\left(\frac x2\right )$ et $\sin\left(\frac x2\right )$ , nous obtenons:

$\left|\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right| = \sqrt{\left(\frac{1 + \cos(x)}{2}\right)}$

$\left|\sin\left(\frac{x}{2}\right)\right| = \sqrt{\left(\frac{1 - \cos(x)}{2}\right)}$

En multipliant $\tan\left(\frac x2\right )$ par $\frac{2\cos(x/2)}{2\cos(x/2)}$ et en le remplaçant par $\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}$ on obtient au numérateur $\sin(x)~$ d'après la formule d'angle double, et au dénominateur $2\cos^2\left(\frac x2\right )$ qui est aussi égal à $\cos(x)+1~$ selon la formule de réduction du carré.

La seconde formule vient de la première en multipliant numérateur et dénominateur par $\sin(x)~$ et en simplifiant en utilisant le théorème de Pythagore.

$\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sin(x)}{\cos(x) + 1} = \frac{1 - \cos(x)}{\sin(x)}$

[modifier] Formules impliquant la « tangente de l'arc moitié »

Si on pose $t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$ , on a:

$\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

$\sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}$

$\tan(x)=\frac{2t}{1-t^2}$

Dans le cas de changement de variable en intégration, on ajoutera :

$d x = \frac{2d t}{1 + t^2}$

ces formules permettent de simplifier des calculs trigonométriques en se ramenant à des calculs sur des fractions rationnelles. Elles permettent aussi de déterminer l'ensemble des points rationnels du cercle unité.

[modifier] Formules de Simpson

[modifier] Transformation de produits en sommes

$\cos p\cos q=\frac{1}{2}[\cos(p+q)+\cos(p-q)]$

$\sin p\cos q=\frac{1}{2}[\sin(p+q)+\sin(p-q)]$

$\sin p\sin q=\frac{1}{2}[\cos(p-q)-\cos(p+q)]$

Ces formules peuvent être démontrées en développant leurs membres de droite en utilisant les formules d'addition

[modifier] Transformation de sommes en produits

$\sin p + \sin q = 2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$

$\sin p - \sin q = 2\cos\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}$

$\cos p + \cos q = 2\cos\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$

$\cos p - \cos q = -2\sin\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}$

Il suffit de remplacer p par $\frac{p+q}{2}$ et q par $\frac{p-q}{2}$ dans les formules de transformation de produit en somme.

Un moyen mnémotechnique pour retenir : « Si, coco, si; coco, si si ! Priorité au sinus et à l'addition, -2 à la dernière ».

$\tan(p) + \tan(q) = \frac{\sin(p+q)}{\cos(p)\,\cos(q)}$

[modifier] Formules d'Euler

$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$

Article détaillé : Formules d'Euler Voir aussi : Trigonométrie complexe

[modifier] Formule de Moivre et formules d'angle multiple

La formule de Moivre s'écrit :

$\cos(nx)+i\sin(nx)=(\cos(x)+i\sin(x))^n\,\!$ où i est le nombre imaginaire.

Si T_n est le nième polynôme de Tchebychev alors

$\cos(nx)=T_n(\cos(x))\,\!.$

Le noyau de Dirichlet D_n est la fonction définie par :

pour tout réel x, $D_n(x)=1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots+2\cos(nx)=\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}$

Le produit de convolution de n'importe quelle fonction de carré intégrable et de période 2π avec le noyau de Dirichlet coïncide avec la somme d'ordre n de sa série de Fourier.

[modifier] Linéarisation

$\cos^{n} x = \left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^{n}$

$\sin^{n} x= \left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^{n}$

Il suffit alors de développer la somme grâce à la formule du binôme de Newton, à regrouper les termes sachant que

$e^{i(n-k)x}e^{-ikx} = e^{i(n-2k)x}\,$

$e^{imx} + e^{-imx} = 2\cos (mx)\,$

$e^{imx} - e^{-imx} = 2i\sin (mx)\,$

[modifier] Fonctions trigonométriques réciproques

Ce sont les fonctions réciproques des fonctions sin, cos et tan.

$y=\arcsin x\Leftrightarrow x=\sin y\mathrm{\ avec\ }y\in\left[\frac{-\pi}{2}\,;\frac{\pi}{2}\right]$

$y=\arccos x\Leftrightarrow x=\cos y\mathrm{\ avec\ }y\in\left[0\,;\pi\right]$

$y=\arctan x\Leftrightarrow x=\tan y\mathrm{\ avec\ }y\in\left]\frac{-\pi}{2}\,;\frac{\pi}{2}\right[$

Si x > 0 alors

$\operatorname{Arctan}(x)+\operatorname{Arctan}(1/x)=\frac{\pi}{2}.$

Si x < 0 alors le côté droit de l'égalité est égal à $-\frac{\pi}{2}$ .

$\operatorname{Arctan}(x)+\operatorname{Arctan}(y)=\operatorname{Arctan}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$

Beaucoup d'identités similaires à la suivante peuvent être obtenues à partir du théorème de Pythagore :

$\cos(\operatorname{Arcsin}(x))=\sqrt{1-x^2}$

[modifier] Identités sans variable

Richard Feynman qui était réputé pour avoir très bien appris ses formules de trigonométrie, s'est toujours rappelé de cette curieuse identité :

$\cos 20^\circ\cdot\cos 40^\circ\cdot\cos 80^\circ=1/8.$

Une telle identité est un exemple d'identité qui ne contient pas de variable et s'obtient à partir de l'égalité :

$\prod_{j=0}^{k-1}\cos(2^j x)=\frac{\sin(2^k x)}{2^k\sin(x)}.$

Les relations suivantes peuvent aussi être considérées comme des identités sans variable :

$\cos 36^\circ+\cos 108^\circ=1/2.$

$\cos 24^\circ+\cos 48^\circ+\cos 96^\circ+\cos 168^\circ=1/2.$

Il se trouve que la mesure en degrés des angles ne donne pas une formule plus simple qu'avec la mesure en radians lorsque nous considérons cette identité avec 21 aux dénominateurs:

$\cos\frac{2\pi}{21}+\cos\frac{2(2\pi)}{21}+\cos\frac{4(2\pi)}{21}+\cos\frac{5(2\pi)}{21}+\cos\frac{8(2\pi)}{21}+\cos\frac{10(2\pi)}{21}=1/2.$

Mais les facteurs 1, 2, 4, 5, 8, 10 peuvent nous faire penser aux entiers inférieurs à 21/2 qui n'ont pas de facteur commun avec 21. Les derniers exemples sont des conséquences d'un résultat de base sur les polynômes cyclotomiques; les cosinus sont les parties réelles des racines de ces polynômes ; la somme des zéros donne la valeur de la fonction de Möbius en 21 (dans le tout dernier cas qui précède); seulement la moitié des racines sont présentes dans la relation précédente.

[modifier] En analyse...

En analyse, il est essentiel que les angles qui apparaissent comme arguments de fonctions trigonométriques soient mesurés en radians; s'ils sont mesurés en degrés ou dans n'importe quelle autre unité, alors les relations reportées ci-dessous deviennent fausses. Si les fonctions trigonométriques sont définies géométriquement, alors leurs dérivées peuvent être obtenues en établissant préalablement ces limites :

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x)}{x}=1,$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}=\frac{1}{2},$

et en utilisant alors la définition avec les limites de la dérivée en un point ainsi que les théorèmes d'addition; si les fonctions trigonométriques sont définies par leurs séries de Taylor, alors les dérivées peuvent être obtenues en dérivant les séries entières terme à terme.

${d \sin \over dx}(x) = \cos(x) = \sin\left(x + \frac \pi{2}\right)$