Matrice transposée
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
 |
Cet article est une ébauche à compléter concernant l'algèbre, vous pouvez partager vos connaissances en le modifiant. |
La matrice transposée (on dit aussi la transposée) d'une matrice 
est la matrice notée 
(parfois aussi notée AT ou 
), obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A.
Si 
, alors ![\forall {(i,j) \in [\![1;m]\!]\times[\![1;n]\!]}, b_{i,j} = a_{j,i}\,](../../../math/c/a/5/ca56778bfdba016086ffa96eb0ecf591.png)
.
Exemple : 
alors 
[modifier] Propriétés
- La transposée de la somme de deux matrices est égale à la somme des transposées de ces deux matrices :
- La transposée du produit de deux matrices est égale au produit inversé des transposées de ces deux matrices :
- La transposée de l'inverse d'une matrice carrée est égale à l'inverse de la transposée de cette même matrice :
- Si A désigne une matrice carrée de dimension n et B sa transposée, alors
![\forall {i \in [\![1;n]\!]}, b_{i,i} = a_{i,i}\,](../../../math/e/0/f/e0fc654894c73ff284640d3d2de453f3.png)
.
- Corollaire : Toute matrice diagonale est égale à sa transposée (réciproque fausse).
- Une matrice égale à sa transposée est appelée matrice symétrique.
[modifier] Interprétation : dualité
Si A représente une application linéaire par rapport à deux bases, alors sa transposée 
représente la matrice de la transposée de l'application par rapport aux bases duales (voir espace dual).
Dans le cadre des espaces euclidiens, si A représente une application linéaire par rapport à deux bases orthonormales, alors sa transposée représente la matrice de l'application adjointe.
 |
Portail des mathématiques – Accédez aux articles de Wikipédia concernant les mathématiques. |
