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Procédé de Gram-Schmidt

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

En algèbre linéaire, le procédé de Gram-Schmidt est une méthode pour orthonormaliser une base de vecteurs d'un espace vectoriel muni d'un produit scalaire. On part d'une base $(v_1,...,v_n) \,$ quelconque et on construit une base orthonormale $(e_1,...,e_n) \,$ qui engendre le même espace vectoriel.

Cette méthode a été nommée en hommage à Jørgen Pedersen Gram et Erhard Schmidt, mais elle est plus ancienne, et est retrouvée dans des travaux de Laplace et Cauchy.

[modifier] Procédé de Gram-Schmidt

Nous définissons l'opérateur de projection sur une droite vectorielle par :

$\mathrm{proj}_{\mathbf{u}}\,\mathbf{v} = {\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle\over\langle \mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle}\mathbf{u}.$

Le procédé de Gram-Schmidt est alors :

	$\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1,$		$\mathbf{e}_1 = {\mathbf{u}_1 \over \|\|\mathbf{u}_1\|\|}$
	$\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}\,\mathbf{v}_2,$		$\mathbf{e}_2 = {\mathbf{u}_2 \over \|\|\mathbf{u}_2\|\|}$
	$\mathbf{u}_3 = \mathbf{v}_3-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}\,\mathbf{v}_3-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_2}\,\mathbf{v}_3,$		$\mathbf{e}_3 = {\mathbf{u}_3 \over \|\|\mathbf{u}_3\|\|}$
	$\vdots$		$\vdots$
	$\mathbf{u}_k = \mathbf{v}_k-\sum_{j=1}^{k-1}\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_j}\,\mathbf{v}_k,$		$\mathbf{e}_k = {\mathbf{u}_k\over\|\|\mathbf{u}_k\|\|}$

Récupérée de « http://fr.wikipedia.org../../../p/r/o/Proc%C3%A9d%C3%A9_de_Gram-Schmidt_8bb0.html »

Catégories : Algèbre bilinéaire • Procédé

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