Процесс Грама ― Шмидта

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Процесс Грама ― Шмидта ― наиболее известный алгоритм ортогонализации, при котором по линейно независимой системе $a 1, a 2,..., a k$ строится ортогональная система $b 1, b 2,..., b k$ такая, что каждый вектор $b i$ линейно выражается через $a 1, a 2,..., a i$ , то есть матрица перехода от ${a i}$ к ${b i}$ ― верхнетреугольная матрица. При этом можно добиться того, чтобы система ${b i}$ была ортонормированной и чтобы диагональные элементы матрицы перехода были положительны; этими условиями система ${b i}$ и матрица перехода определяются однозначно.

Этот процесс применим также и к счётной системе векторов.

Процесс Грама ― Шмидта может быть истолкован как разложение невырожденной квадратной матрицы в произведение ортогональной (или унитарной матрицы в случае эрмитова пространства) и верхнетреугольной матрицы с положительными диагональными элементами, что есть частный случай разложения Ивасавы.

[править] Алгоритм

Полагают $b 1 = a 1$ если уже построены векторы $b 1, b 2,.., b i - 1$ то

$b_i=a_i-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{\langle a_i,b_j\rangle}{\langle b_j,b_j\rangle} b_j.$

Геометрический смысл описанного процесса состоит в том, что на каждом шагу вектор $b i$ является перпендикуляром, восстановленным к линейной оболочке векторов $a 1,..., a i - 1$ до конца вектора $a i$ .

Нормируя полученные векторы $b i$ ,

c i = b i / | b i |

получают искомую ортонормированную систему ${c i}$ .

[править] Свойства

Произведение длин $b i$ равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах системы ${a i}$ , как на рёбрах.

Категория: Линейная алгебра

Процесс Грама ― Шмидта

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] Алгоритм

[править] Свойства

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках