Représentation régulière

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En mathématiques et plus précisemment en théorie des groupes, la représentation régulière est une représentation d'un groupe fini.

Soient G un groupe fini d'ordre g, K un corps, V un K espace vectoriel de dimension g et (e_s) une base de V indexé par G. Soit ρ le morphisme de groupe de G dans le groupe linéaire GL(V), qui à u un élément de G associe ρ_u l'automorphisme de V qui a pour image du vecteur e_s le vecteur e_t avec t = u.s. Alors la représentation (V, ρ) est appelée représentation régulière de G.

Ce concept possède des propriétés importantes. Par exemple, toute représentation irréductible est isomorphe à une sous-représentation de la représentation régulière.

Sommaire

1 Définition
2 Propriétés
3 Notes et références
- 3.1 Liens externes
- 3.2 Références

[modifier] Définition

Voir l’article Action de groupe.

Soit G un groupe fini d'ordre g. Le groupe G opère par action de groupe (cf l'article associé) sur lui même par la translation à gauche (resp. droite). Ce premier morphisme de G dans S_g montre que G est isomorphe à un sous-groupe de S_g, ce résultat est connu sous le nom de théorème de Cayley.

Il est possible de prolonger ce morphisme. Soient K un corps commutatif, V un K-espace vectoriel de dimension g et B = (e_s) une base de V indexée par les éléments de G. L'action du groupe G précédente opère maintenant sur B. Si u est un élément de G, notons ρ_u l'application de B dans B qui, si s est un élément de G, associe à e_s l'élément e_us. ρ_u opère sur une base de V, en conséquence, il est possible de prolonger ρ_u de manière unique comme une application linéaire de V dans V. Dorénavant, ρ_u désigne un endomorphisme de V. On remarque que l'image de la base B par ρ_u est encore une base, ρ l'application qui à u associe ρ_u est donc une application de G dans GL(V) le groupe linéaire des automorphismes de V.

Montrons que ρ est un morphisme de groupe, c'est à dire que :

$\forall u,v \in G \quad \rho_u\circ\rho_v=\rho_{uv}\;$

Il suffit pour cela, de vérifier l'égalité pour une base de V :

$\forall e_s\in B \;\forall u,v \in G \quad \left(\rho_u\circ\rho_v\right)(e_s)=\rho_u\left(\rho_v(e_s)\right)=\rho_u(e_{vs})=e_{uvs}=\rho_{uv}(e_s)\;$

Ce qui permet la définition suivante :

Soient u un élément de G et ρ^g_u (resp. ρ^d_u) l'unique application linéaire prolongeant l'action du groupe G à B par translation à gauche (resp. droite) sur V. Alors (V, ρ^g) (resp. V, ρ^d) est appelée représentation régulière à gauche (resp. droite) du groupe G.

Dans l'article la représentation est notée (V, ρ), les propriétés décrites sont vérifiées par les deux représentations droite et gauche. Un exemple est développé dans l'article Représentations du groupe symétrique d'ordre trois

[modifier] Propriétés

[modifier] Propriétés élémentaires

Une représentation régulière est fidèle.

Dire qu'une représentation est fidèle, signifie qu'elle est injective. Pour montrer cette propriété, il suffit d'étudier le noyau de la représentation. soit s un élément du noyau, alors ρ_s est égal à l'identité, en particulier, l'image du vecteur de la base indexée par 1 est lui même, donc s.1 = 1, et donc s = 1.

Si χ désigne le caractère de la représentation régulière, alors χ₁ = g et si s est un élement de G différent de 1, alors χ_s = 0.

En effet, considérons la matrice de ρ_s, c'est une matrice de permutation composée de zéro et de un. Une telle matrice possède un un sur la diagonale si et seulement si il existe un élément t de G tel que ρ_s(e_t) = e_t, ce qui s'écrit encore st = t. La dernière égalité est impossible si s est différent de 1. χ_s = 0 est donc vérifiée si et seulement si s est différent de zéro. Le fait que χ₁ = g, la dimension de V est une propriété générale à tout les caractères.

[modifier] Nombre de représentations irréductibles

Voir l’article Fonction centrale d'un groupe fini.

Si la caractéristique de K est nulle ou première avec g l'ordre du groupe et si le polynôme X^g - 1 est scindé dans K, alors les caractères irréductibles forment une base orthonormale des fonctions centrales, la démonstration est donnée dans l'article associé. On en déduit la proposition suivante :

Soient (V, ρ) la représentation régulière de G et (W, σ) une représentation irréductible de G de degré d, il existe exactement d sous espaces invariants V_i de V tel que la restriction ρ_i de ρ à V_i soit une représentation isomorphe à (W, σ).

Si ψ désigne le caractère de σ, on a alors:

$<\chi |\psi>=\frac{1}{g}\left(g.d + \sum_{s\in G^*} \chi(s).\psi(s)^*\right) = d + 0 = d \;$

Comme les caractères irréductibles forment une famille orthonormale, on en déduit la proposition.

[modifier] Identités remarquables

Le nombre de représentations irréductibles d'un groupe fini est fini. Soit h le nombre de représentations irréductibles distinctes de G, d_i le degré de la i-ième représentation irréductible de G et ψ_i son caractère, on a alors :

Les deux égalités suivantes sont vérifiées :

$\sum_{i=1}^h d_i^2 = g \quad et \quad \forall s \in G^*\; \sum_{i=1}^h d_i \psi_i(s)=0$

Démonstration

[modifier] Algèbre d'un groupe

Voir l’article algèbre d'un groupe fini.

L'algèbre d'un groupe est un enrichissement algèbrique de la représentation régulière. Ce n'est plus uniquement le groupe qui opère sur V, mais l'ensembles des combinaisons linéaires des éléments du groupe. L'ensemble qui opère sur V devient alors V lui-même. On obtient une algèbre associative sur K.

Cette algèbre est importante car le théorème de Maschke montre qu'elle est algèbre semi-simple. Or les algèbres semi-simples possèdent de nombreuses propriétés. On peut citer par exemple le fait qu'il existe une unique décomposition en composantes isotypiques, ce qui n'est pas le cas pour les décompositions en facteurs irréductibles.

Cette algègre possède un centre disposant d'une structure d'anneau commutatif, il est ainsi possible d'utiliser les techniques de l'arithmétique et de démontrer que toute représentation irréductible possède un degré divisant celui de la représentation régulière.

[modifier] Produit hermitien en caractéristique nulle

Voir l’article produit hermitien.

Si le corps K est de caractéristique nulle, comme il est commutatif, il est inclu dans C le corps des nombres complexes, l'espace V est naturellement munis de produit hermitien. Si K est inclu dans le corps des réels, alors le produit hermitien apparaît comme un produit scalaire.

Soit ( | ) le produit hermitien conférant à la base canonique le statut de base orthonormale, ce produit hermitien est appelé produit hermitien canonique.

Tout les automorphismes images de la représentation ont pour image de la base canonique une base orthonormale, en effet la base de l'image est identique à la base canonique à une permutation près. Ils sont donc tous des isométries :

Les images de la représentation régulière sont des automorphismes orthogonaux pour le produit hermitien canonique.

Une telle propriété induit la définition suivante :

Un produit scalaire (ou hermitien) sur V est dit invariant par l'action de G si et seulement si l'image de G par ρ est composée d'isométries.

De plus, tout représentation irréductible est isomorphe à une sous-représentation de la représentation régulière. Il existe donc un produit hermitien ou scalaire invariant par l'action de G. Enfin, comme toute représentation est somme directe de représentations irréductibles :

Si le corps K est de caractéristique nulle, toute représentation possède un produit hermitien ou scalaire invariant.

[modifier] Produit hermitien en caractéristique finie

Dans le cas de la caractéristique finie, si le corps est algébrique et si la caractéristique p est première avec l'ordre g du groupe, alors la situation est analogue. Il est néanmoins nécessaire de définir un produit hermitien généralisé. Pour cela il faut exhiber une application équivalente à la fonction conjuguée des complexes. La théorie de Galois affirme l'existence d'un automorphisme de Frobenius φ vérifiant les propriétés suivantes :

$\forall \alpha, \beta \in \mathbb K \quad \varphi (\alpha - \beta)=\varphi (\alpha) - \varphi (\beta) \; , \; \varphi (\alpha . \beta^{-1})=\varphi (\alpha). \varphi (\beta)^{-1}\; , \quad \varphi \circ \varphi = Id \; et \quad \alpha.\varphi(\alpha) \in \mathbb P$

Le corps premier désigne le corps engendré par l'unité, il est isomorphe à Z/p.Z si p est la caractéristique de K. Si α est un élément non nul du corps, si d est le cardinal de la plus petite extension contenant α, alors φ(α)=α^d/2. Les démonstrations sont données dans l'article Automorphisme de Frobenius. La forme hermitienne < | > possède les propriétés suivantes si φ(α) est noté $\scriptstyle \overline \alpha$ :

$\forall \alpha, \beta\in \mathbb K\quad\forall u,v,w \in V \quad <\alpha.u +\beta.v \; |\; w>=\alpha <u\; |\; w>+\beta<v\; |\; w>$

$\forall \alpha, \beta \in \mathbb K \quad \forall u,v,w \in V \quad <u \; |\; \alpha.v+ \beta w>=\overline{\alpha} <u\; |\; v>+ \overline{\beta}<u\; |\; w>$

$\forall u,v\in V \quad <u \; |\; v>=\overline{<v \; |\; u>}$

$\forall u\in V \quad <u \; |\; u> \in \mathbb P$

$\forall u\in V \quad <u \; |\; u>=0 \Leftrightarrow u=0$

Cette généralisation ramène la situation au cas de caractéristique nulle, on en déduit la proposition :

Si le corps K est de caractéristique finie première avec l'ordre du groupe et s'il est algébrique, toute représentation possède un produit hermitien invariant.

[modifier] Notes et références

Articles sur les Représentations d'un groupe d'ordre fini

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[modifier] Liens externes

(fr) Cours de représentation des groupes finis par M. Broué de l'université de Paris VII
(fr) Représentation linéaire des groupes finis, une introduction par D. Ferrand de l'université de Renne

[modifier] Références

Jean-Pierre Serre, Représentations linéaires des groupes finis [détail des éditions]
(en) Marshall Hall The theory of groups [détail des éditions]
Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
N. Bourbaki Algèbre, Chapitre VIII Paris, Hermann 1958