Algèbre semi-simple

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En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, Une A-Algèbre sur un anneau L où A désigne un anneau est qualifié de semi-simple ou de complètement réductible si et seulement si la structure d'anneau associé à L l'est

Elle est présente dans de nombreuses branches mathématiques, on peut citer l'algèbre linéaire l'arithmétique, la théorie des représentations d'un groupe fini celle des groupes de Lie ou celle des algèbres de Lie. Elle est, par exemple, utilisée pour démontrer le critère de réciprocité de Frobenius.

La théorie des algèbres semi-simples, se fonde sur le lemme de Schur et le théorème d'Artin-Wedderburn.

Sommaire

1 Définitions
2 Exemples
3 Propriétés héritées des modules
4 Analyse des endomorphismes
- 4.1 Anneau simple
- 4.2 Algèbre simple
5 Théorème d'Artin-Wedderburn
- 5.1 Enoncé du théorème
- 5.2 Centre de l'algèbre
6 Voire aussi
- 6.1 Liens externes
- 6.2 Références

[modifier] Définitions

Tout au long de cet article, les notations suivantes sont utilisées : A désigne un anneau unitaire non nécessairement commutatif, L une algèbre unitaire sur l'anneau A. K désigne un corps, non nécessairement commutatif et E un espace vectoriel.

Plusieurs définitions sont nécessaire à la compréhension de la notion d'algèbre semi-simple. Les définitions diffèrent un peu du cas des module semi-simples. Par exemple un module est dit simple s'il n'admet pas d'autres sous-module que lui-même et l'ensemble nul. La situation archétypale de l'algèbre simple est celle de L(E), l'ensemble des endomorphismes de E. Il admet de nombreuses sous-algèbres, par exemple si p est un projecteur, alors l'ensemble des endomorphismes de la forme poa où a décrit les endomorphismes est une sous-algèbre, on utilise alors la définition suivante :

L'algèbre L est dite simple si et seulement si les seuls idéaux bilataires sont l'ensemble nul et L lui-même.

K est une algèbre simple considéré comme un espace vectoriel sur lui-même. L'anneau des entiers Z n'est pas une Z-algèbre simple, en effet tout sous-module n.Z si n est un entier contient le sous-module 2.nZ. Cette définition se généralise aux modules, un module est dit simple s'il n'admet comme sous-module que lui-même et l'ensemble nul.

Soit F un idéal de L, F est aussi appelé un facteur invariant.

Le corps des nombres complexes est une algèbre en tant qu'espace vectoriel réel, R l'ensemble des nombres réels est un sous-module simple mais n'est pas un facteur invariant au sens de l'algèbre. Si E est de dimension deux de base (e₁, e₂) et si L est la K algèbre des endomorphismes ayant la base comme vecteurs propres, alors le sous-ensemble de L ayant pour image de e₁ le vecteur nul est un facteur invariant.

Soit F un facteur invariant, F est dit facteur direct si et seulement si il existe un supplémentaire invariant par F.

Avant de donner la définition d'une algèbre semi-simple rappelons qu'un module est dit semi-simple si et seulement si il est somme directe de facteurs invariants. La notation suivante est utilisée dans l'article _LL désigne le module L sur l'anneau L.

Une algèbre L est dite semi-simple si et seulement si les modules _LL à droite et à gauche le sont.

Cette définition induit immédiatement la définition d'un anneau semi-simple :

Une anneau est dit semi-simple si et seulement si il est semi-simple en tant qu'algèbre sur lui-même.

[modifier] Exemples

[modifier] Endomorphismes de E

L'ensemble des endomorphismes L(E) est une algèbre simple si E est un espace vectoriel de dimension fini.

Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Burnside, il est démontré dans l'article Théorème d'Artin-Wedderburn.

[modifier] Algèbre de groupe

[modifier] Anneau Artinien

[modifier] Propriétés héritées des modules

Voir l’article Module semi-simple.

Une algèbre semi-simple est aussi un module semi-simple. En conséquence, une telle structure hérite directement de propriétés:

[modifier] Caractérisation d'une algèbre semi-simple

Les trois propositions suivantes sont équivalentes :

(i) L est une algèbre semi-simple.

(ii) L est somme de sous-algèbres simples.

(iii) Tout sous-algèbre est un facteur direct.

Les conséquences s'appliquent aussi aux algèbres :

Supposons que L ne soit pas semi-simple, alors la somme de toutes les sous-algèbres simples de L est une sous-algèbre semi-simple, c'est la plus grande au sens de l'inclusion.

Toute sous-algèbre d'une algèbre semi-simple est semi-simple.

Les démonstrations se trouvent dans l'article associés.

[modifier] Lemme de Schur

Voir l’article Lemme de Schur.

Le lemme de Schur est un lemme technique explicitant la nature des morphismes entre une algèbre semi-simple et une algèbre simple. Il est à la fois simple à exprimer et à démontrer, cependant ses conséquences sont aussi nombreuses que profondes. Ici L désigne une algèbre semi-simple et S une algèbre simple sur A.

Un morphisme de A dans L est soit nul soit injectif, un morphisme de L dans A est soit nul soit surjectif, si de plus L est simple alors un morphisme est soit nul soit bijectif. Si A est commutatif et si le polynôme minimal du morphisme est scindé, les seuls morphismes de S dans S sont les homothéties.

La structure d'un morphisme d'algèbres semi-simples est donc aisée à comprendre, elle correspond à une somme directe d'automorphismes de sous-algèbres simples et de morphisme nul.

[modifier] Décomposition canonique

La décomposition d'une algèbre semi-simple en sous-algèbres simples n'est pas unique, pour obtenir une décomposition canonique, il est nécessaire de considérer la relation d'équivalence entre les sous-algèbres simples donnée par les isomorphismes. Deux algèbres simples sont en relation si et seulement si il existe un isomorphisme de module entre elles. Soit N_i la somme des sous-algèbres d'une classe donnée. La décomposition suivante est canonique :

N_i est la plus grande sous-algèbre ne contenant que des sous-algèbres simples isomorphes à S_i et toutes ses sous-algèbres sont isomorphes à S_i. L est somme directe des N_i.

Avec les notations précédentes les sous-algèbres N_i sont appelées facteurs isotypiques de L.

Si une algèbre L ne contient que des sous-algèbre simples isomorphes deux à deux, alors l'algèbre L est qualifiée d'isotypique.

Le théorème d'Artin-Wedderburn énoncé ci-dessous, permet d'aller plus loin dans la compréhension de la structure.

[modifier] Analyse des endomorphismes

[modifier] Anneau simple

Déterminons l'ensemble des endomorphismes dans un cas simple, celui de l'anneau A considéré comme un module sur lui-même. Un tel module est noté ici _AA. Une définition préalable est nécessaire :

L'anneau opposé de A est l'anneau noté ici A^op muni de la multiplication définie par :

$\forall a,b \in \mathbb A \quad a^{op}.b^{op}=ba\;$

On dispose alors de la propriété suivante :

L'ensemble des endomorphismes du module _AA est isomorphe à _AA^op.

Ce qui revient à dire que les endomorphismes correspondent à l'anneau opposé de A.

En effet, si $φ$ est un endomorphisme, il est entièrement déterminé par l'image de 1. En effet, si a est un élément de A, alors son image est égal à a. φ(1), l'égalité suivante permet de conclure :

$\forall \varphi, \psi \in \mathcal L_{\mathbb A} (\mathbb A) \; \forall a \in \mathbb A\quad \varphi\circ\psi(a)=a \psi(1) .\varphi (1) \;$

La structure d'anneau des endomorphisme est général aux algèbres, dans le cas d'une algèbre simple, le lemme de Schur indique que l'endomorphisme est soit nul, soit inversible ce qui démontre la propriété suivante :

L'ensemble des endomorphismes d'une algèbre simple est un corps non nécessairement commutatif.

Dans le cas où l'algèbre simple est défini sur un corps commutatif algébriquement clos, les seuls automorphismes sont les homothéties.

L'ensemble des endormorphismes d'une algèbre simple L sur un corps commutatif algébriquement clos K est isomorphe au centre de l'algèbre et à K.

Cette égalité s'écrit aussi : dim Hom_K^L(L, L) = 1. Cette égalité signifie que l'algèbre sur le corps K des endomorphismes de L en tant qu'algèbre est de dimension 1.

[modifier] Algèbre simple

Soit l un élément de L non nul, on utilise la définition et de la proposition suivante :

L'ensemble des éléments a de A tel que a.l est égal zéro est un idéal bilataire maximal, on l'appelle idéal annulateur de A car cet idéal est indépendant de l'élément l non nul choisi.

Soit a un élément de l'idéal annulateur de l. L'homothétie de rapport a possède un noyau non nul, le lemme de Schur indique alors que cette homothétie est l'application nulle. L'élément a annule tout élément de L, les annulateurs des différents éléments non nuls de L sont donc tous égaux. Cette propriété montre aussi que l'ensemble des éléments annulant l est un idéal à droite. Si b est un élément de A, alors b.a.l = b.0 = 0, l'annulateur est donc aussi un idéal à gauche. Montrons enfin qu'il est maximal, pour cela il suffit de remarquer que tout élément hors de l'annulateur est inversible. C'est encore une conséquence directe du lemme de Schur. Il est donc inutile de considérer le cas d'une algèbre simple sur un anneau, il suffit d'étudier celui d'une algèbre simple sur un corps, en général gauche.

Le quotient de A par l'idéal annulateur est un corps inclus dans celui du corps opposé des endomorphismes d'une algèbre simple.

Ce quotient est composée d'éléments qui s'identifient à des homothéties inversibles, ce sont donc bien des endomorphismes. Une algèbre simple sur un corps est la donnée d'un anneau L simple et d'un sous-corps du corps de l'opposé de l'algèbre des endomorphismes de L. Pour cette raison, seules les algèbres simples sur un corps sont étudiées.

[modifier] Théorème d'Artin-Wedderburn

Voir l’article Théorème d'Artin-Wedderburn.

[modifier] Enoncé du théorème

Joseph Wedderburn

Le théorème d'Artin-Wedderburn est au coeur de la structure de l'algèbre, il exprime de la manière suivante :

Un anneau semi-simple tel que tout idéal simple est de dimension finie sur son corps d'endomorphismes, est isomorphe à un produit d'algèbres d'endomorphismes de modules de dimension fini sur des corps à priori distincts et gauches.

L'analyse des endomorphismes d'une algèbre simple montre que le théorème se généralise immédiatement aux algèbres semi-simples. Ainsi un algèbre simple correspond à un anneau d'endomorphismes de module sur un corps gauche, et une algèbre correspond à la même structure adjointe d'un sous-corps du corps gauche.

Réciproquement une généralisation d'un théorème de Burnside (cf paragraphe Démonstration de Burnside de l'article Théorème d'Artin-Wedderburn) montre que l'algèbre des endomorphismes d'un module sur un corps gauche adjointe de la multiplication externe naturelle sur un sous-corps du corps définissant le module est une algèbre simple. De plus, un produit fini d'algèbres simples est une algèbre semi-simple. La réciproque du théorème d'Artin-Wedderburn est donc vérifiée.

L'unicité de la structure est assurée par l'unicité de la décomposition d'un module semi-simple en facteurs isotypiques.

Dans le cas où A est un corps commutatif algébriquement clos, alors l'analyse précédente montre que les corps des algèbres des endomorphismes sont tous égaux à A. On bénéficie alors de la proposition suivante :

Si A est un corps commutatif algébriquement clos et L une algèbre semi-simple de dimension finie n, alors la dimension de chaque facteur isotypique est un carré parfait d_i². De plus l'égalité suivante est vérifiée si h désigne le nombre de sous-algèbres simples incluses dans L :

$n=\sum_{i=1}^h d_i^2\;$

En effet, si d_i est la dimension d'un module simple S_i de la i-ième composante isotypique de L, alors la i-ième algèbre est celle des endomorphisme de l'espace vectoriel sous-jacent de S_i.

[modifier] Centre de l'algèbre

Etudions le centre de l'algèbre dans le cas où l'algèbre est définie sur un corps commutatif algébriquement clos. Soient (L_i) pour i variant de 1 à h la famille des sous-algèbres simples et c un élément du centre. Comme la famille des (L_i) forme une somme directe égale à L, si l'on note p_i le projecteur sur L_i parallèlement à la somme directe des autres membres de la famille, on à l'égalité :

$c = \sum_{ij \in [1, h]} c_{ij} \quad avec \quad \forall i,j \in [1,h] \quad c_{ij}= p_j\circ c\circ p_i \;$

Si i est différent de j, alors c_ij définit un morphisme de L_i dans L_j. Le lemme de Schur indique qu'un tel morphisme est toujours nul. Si i est égal à j, alors c_ii correspond à un morphisme d'algèbre simple, c'est donc une homothétie d'un rapport à valeur dans K. En conclusion :

Le centre de l'algèbre L est isomorphe à l'anneau somme directe d'autant de copies de K qu'il existe de sous-algèbres simples.

Cette égalité s'écrit maintenant si h désigne le nombres de sous-algèbres simples de l'algèbre L et C son centre.

$dim \, C = dim \;Hom_{\mathbb K}^L(L\, , \, L)= h \quad et \quad C\simeq Hom_{\mathbb K}^L(L\, , \, L) \simeq L^h$

[modifier] Voire aussi

Articles de mathématiques en rapport avec l'algèbre commutative

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[modifier] Liens externes

(fr) Théorie des algèbres simples J.P. Serre Séminaire Henri Cartan
(fr) Algèbre commutative A. Chambert-Loir
(en) Finite group representation for the pure mathematician Peter Webb
(fr) Théorie des algèbres semi-simples P. Cartier Séminaire Sophus Lie

[modifier] Références

Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
N. Bourbaki, Algèbre commutative Chapitre VIII et IX Masson 1983

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