Algèbre d'un groupe fini

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En mathématiques, l' algèbre d'un groupe fini s'inscrit dans le cadre de la théorie des représentations d'un groupe fini.

Une algèbre d'un groupe fini est la donnée d'un groupe fini, d'un espace vectoriel de dimension l'ordre du groupe et d'une base indexée par le groupe. La multiplication des éléments de la base est obtenue par la multiplication des indexes à l'aide de la loi du groupe, elle est prolongée sur toute la structure par linéarité. Une telle structure est une algèbre semi-simple, elle dispose de toute une théorie dont le théorème d'Artin-Wedderburn est le pilier.

Cette approche apporte un nouvel angle d'analyse pour la représentation des groupes. Elle permet d'établir par exemple, la formule de réciprocité de Frobenius, le théorème d'Artin ou par exemple celui de Brauer.

[modifier] Introduction

[modifier] Nature de la démarche

L'objectif est l'étude des représentations d'un groupe fini G sous un angle particulier. Dans un premier temps, une unique représentation est étudiée, la représentation régulière. L'ensemble de départ est alors linéarisé, c'est à dire qu'il est identifié à l'espace vectoriel sur le corps K de la représentation. Le morphisme de groupe de G dans le groupe linéaire de l'espace vectoriel est prolongé par linéarité. On obtient une structure d'algèbre associative sur un corps commutatif, noté K[G]. Avec les caractères, cette approche est l'un des deux piliers de la théorie des représentations.

Le théorème de Maschke démontre que si l'ordre du groupe n'est pas un multiple de la caractéristique du corps K alors l'algèbre est semi-simple. Cette structure est l'objet d'une vaste théorie, permet la démonstration de résultats variés grace à ses nombreux théorèmes. L'un des plus importants est sans doute celui d'Artin-Wedderburn, il indique par exemple que, si le corps est algébriquement clos, ou si le polynôme X^g - 1 est scindé alors l'algèbre est isomorphe à une somme directe d'algèbres des endomorphismes sur des K-espaces vectoriels de dimension finis. Ici g désigne l'ordre du groupe.

L'algèbre d'un groupe opère sur toutes les représentations, il suffit de prolonger le morphisme de groupe par linéarité. On obtient ainsi une structure de module où l'anneau K[G] opère sur l'espace vectoriel de la représentation. Une telle structure se nomme G-module. Il existe une équivalence stricte entre la notion de G-module et de représentation de G.

[modifier] Applications

L'essentiel des premiers résultats de la théorie des représentations sont des conséquences directes des propriétés générales des algèbres semi-simples. On peut ainsi démontrer le caractère fini du nombre de représentations irréductibles, ou l'égalité entre l'ordre du groupe et la somme des carrés des dimensions des représentations irréductibles. Il est vrai que ces propriétés se démontrent souvent facilement à l'aide des caractères, sans l'adjonction d'une théorie riche mais parfois complexe. En revanche, certains de ces résultats se démontrent de manière plus aisé avec une approche par les algèbres semi-simples, c'est le cas par exemple du critère de réciprocité de Frobenius.

Il existe aussi des éléments propres aux algèbres qui s'avèrent indispensables pour la théorie des représentations. Le centre de l'algèbre K[G] est naturellement une extension abélienne commutative du corps K. Il est ainsi possible d'utiliser la notion d'entier algébrique. Cette remarque permet d'introduire une arithmétique, qui s'avère rapidement indispensable. Elle est par exemple utilisée dans cet article pour démontrer que toute représentation irréductible possède un degré divisant l'ordre du groupe.

Dans le cas où g est un multiple de la caractéristique du groupe, alors la propriété fondamentale des caractères, à savoir l'aspect orthonormal des caractères irréductibles disparait. L'algèbre du groupe perd aussi sa semi-simplicité. En revanche la théorie des anneaux semi-simples et particulièrement le concept de radical de Jacobson permet d'élucider la nature des représentations.

[modifier] Définitions

[modifier] Algèbre d'un groupe

Voir l’article Algèbre semi-simple.

Les notations suivantes sont utilisées dans tout l'article. G désigne un groupe fini noté multiplicativement son élément neutre est noté 1 et son ordre g. K est un corps commutatif de caractéristique soit nulle soit première avec g.

La K-algèbre du groupe G, noté K[G] est l'espace vectoriel des combinaisons linéaires formelles des éléments de G et muni de la multiplication suivante :

$\forall (a_s)_{s\in G}\in K^G \; \forall (b_t)_{t\in G}\in K^G \quad (\sum_{s\in G} a_s.s)(\sum_{t\in G} b_t.t)= \sum_{s\in G}\sum_{t\in G} a_sb_t.st =\sum_{s\in G} (\sum_{t,u \in G \mid tu=s} a_t b_u ) s$

Une telle structure bénéficie de la propriété suivante :

La structure K[G] est celle d'une algèbre associative sur un corps.

Quelques définitions sont nécessaires, elle concerne les algèbres en général :

Une algèbre est dite simple si les seuls idéaux bilatères sont {0} et l'algèbre elle-même.
Un idéal est dit facteur direct si et seulement si il existe un idéal bilatère sous-espace supplémentaire.
Une algèbre est dite semi-simple si et seulement si toute sous-algèbre simple est facteur direct.

Une algèbre de groupe possède la propriété suivante appelée théorème de Maschke :

Si l'ordre du groupe n'est pas un multiple de la caractéristique du corps K, alors l'algèbre du groupe est semi-simple.

Démonstration

[modifier] G-module

Voir l’article Module semi-simple.

Un module sur l'anneau de l'algèbre du groupe K[G] est appelé un G-module.

Le théorème de Maschke démontre qu'un G module est semi-simple. En conséquence il bénéficie de la propriété suivante :

En dimension finie, un module est semi-simple si et seulement si elle est somme directe de sous-module simples.

La démonstration est donnée dans l'article associé. Cette propriété se transpose immédiatement à l'algèbre de groupe.

La structure multiplicative de l'anneau restreint à GxV si V désigne le G module définit une représentation. Réciproquement tout morphisme d'une représentation se prolonge par linéarité sur K[G]. En conséquence, il existe donc une équivalence stricte entre la notion de G-module et celle de représentation.

Soit V₁ et V₂ deux G-modules, la notation hom_K^G(V₁, V₂) désigne la K-algèbre des morphismes de G-module de V₁ dans V₂.

Un tel morphisme φ vérifie les propriétés suivantes:

$\forall \alpha ,\beta \in \mathbb K \quad \forall a,b \in V_1 \quad \forall k \in \mathbb K[G]\quad \varphi (\alpha a + \beta b) = \alpha \varphi (a) + \beta \varphi (b) \quad et \quad \varphi (k.a) = k. \varphi (a) \quad$

[modifier] Contexte

[modifier] Représentation linéaire des groupes

Voir l’article Théorie des représentations d'un groupe fini.

La théorie des algèbres de groupe étudie fondamentalement la même structure que celle de la théorie de la représentation, le vocabulaire associé aux algèbres de groupe est, dans ce cas, identique à celui des représentations.

Une représentation du groupe G est la donnée d'un espace vectoriel V de dimension finie notée n et d'un morphisme de groupe ρ de G vers le groupe linéaire GL(V). Une représentation est notée (V, ρ) ou parfois et abusivement V.

Dans le cas des algèbres de groupes, une seule représentation est étudiée, c'est la représentation régulière décrite ci-dessous.

C'est-à-dire que l'application ρ est à valeur dans l'espace des applications linéaires bijectives et préserve la loi du groupe, ce qui est équivalent à :

$\rho_1=Id \quad et \quad \forall s, t \in G \quad \rho(s)\circ \rho(t) = \rho(st)$

La notion de sous-représentation correspond à celle de sous-espace vectoriel compatible avec la représentation. Elle est décrite par la définition suivante :

Un sous-espace vectoriel W de V est dit stable ou invariant pour la représentation (V, ρ) si et seulement si, il est stable par tous les automorphismes ρ_s si s parcourt G.

Une sous-représentation (W, θ) d'une représentation (V, ρ) est une représentation sur un sous-espace vectoriel W stable par toutes les images des éléments de G par ρ et du morphisme θ qui à un élément s de G associe la restriction de ρ_s à W.

Dans le contexte des algèbres de groupe, la linéarité se propage, un sous-espace stable est alors un idéal de l'algèbre qu'on appelle G-module. Cette définition introduit naturellement la suivante :

Une représentation (V, ρ) est dite irréductible si et seulement si les seuls sous-espaces stables sont V et le vecteur nul.

Cette définition correspond aux algèbres simples dans le contexte de l'article.

[modifier] Caractère

Voir l’article Caractère d'une représentation d'un groupe fini.

Une notion importante est celle du caractère d'un G-module, elle caractérise totalement le G-module. Dans le vocabulaire des représentation, elle possède la définition suivante :

Le caractère χ_V de la représentation d'un G-module V est une application de G dans K, qui à s associe la trace de l'application linéaire multiplication à gauche dans V.

$\forall s \in G \quad \chi_{V}(s)=Tr(s)\;$

Un cas important correspond à celui où le corps K est égal à celui des nombres complexes. Les caractères vérifient les propriétés élémentaire suivantes :

L'image de l'unité par un caractère est égale à la dimension n de V.
Si s et t sont deux éléments du groupe, alors st et ts ont même image par le caractère.
Si deux G-modules sont isomorphes alors ils ont même caractère.
Si s et t sont deux éléments conjugués du groupe, c'est à dire s'il existe un élément u tel que usu^-1 = t, alors les traces de s et de t sont égales.
Si le corps K est celui des complexes et s un élément du groupe, alors l'image de s^-1 par le caractère est le conjugué de l'image de s.

Les caractères sont des éléments de l'espace vectoriel F_c des fonctions centrales de G dans K. Si la caractéristique de K est soit nulle soit différente de deux et est première avec g, le paragraphe Produit hermitien de l'article Représentations d'un groupe fini montre que l'espace peut-être muni d'un produit hermitien < | > :

$\forall x,y \in C <x|y>=\frac{1}{g}\sum_{s\in G} x_s.y_s^*$

Un caractère irréductible est le caractère d'une représentation irréductible.

Les caractères irréductibles possèdent une propriété forte :

Si le corps est de caractéristique nulle et contient le corps de décomposition du polynôme X^g - 1, les caractères irréductibles de K(G) forment base orthonormale de F_c pour le produit hermitien < | >.

Cette situation se généralise si la caractéristique du corps est première avec l'ordre du groupe.

[modifier] Représentation régulière

Voir l’article Représentation régulière.

La représentation régulière correspond à celle de l'algèbre de groupe. Par défaut, elle ne dispose pas d'une multiplication interne mais d'un morphisme de groupe de G dans le groupe linéaire de l'espace vectoriel V de dimension g. Une analyse de la représentation apporte un éclairage important sur K[G]. En particulier, on demontre que toutes les représentations irréductibles sont isomorphes à un G-module.

Le théorème de Cayley montre que le groupe G est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique d'ordre g. Si V est un K espace vectoriel de dimension g, il est possible d'indexer une base B de V par G. Le groupe G opère transitivement sur B. L'unique prolongement linéaire de l'action de groupe à V est une représentation, elle est dite régulière. C'est une représentation de degré g égal à l'ordre du groupe. Elle vérifie la propriété suivante :

La représentation régulière (V, ρ) de G est fidèle.

C'est à dire qu'elle est injective (cf Représentation des groupes finis).

La représentation régulière est donc un prolongement de celle de Cayley. L'algèbre de groupe est un nouveau prolongement, ce ne sont plus uniquement les éléments du groupe qui opère sur l'espace, mais l'espace lui-même.

Sous réserve que les caractères irréductibles forment une base orthonormale des fonctions centrale, et si (W, σ) est une représentation irréductible de G de degré d :

Il existe exactement d_i sous-espaces invariants en somme directe W_i de V tel que la restriction de ρ à W_i, soit isomorphe à (W, σ).

Un espace somme directe de copies d'un G-module simple est dit isotypique. La somme directe de toutes les copie d'un G-module simple est appelée composante isotypique du module simple dans le G-module.

Sous reserve des mêmes hypothèses que précédemment, si (W_j, σ_j) est l'ensemble des représentations irréductibles de G quand j varie de 1 à h où h' désigne le nombre de classes de conjugaison de G, alors l'égalité suivante est vérifiée :

Soit d_j le degré de la représentation irréductible (W_j, σ_j) et g l'ordre de groupe, alors :

$g=\sum_{i=1}^h d_i^2$

Cette égalité correspond avec le regard des représentations au fait qu'il existe exactement d_i représentations de dimension d_i. Dans K[G] elle correspond à la somme des dimensions des différentes algèbres d'endomorphismes.

[modifier] Application de la théorie des algèbres semi-simples

Supposons que la caractéristique de K est soit nulle soit première avec g et K est alors algébrique. On suppose de plus que le polynôme X^g - 1 est scindé.

[modifier] Module semi-simple

Voir l’article module semi-simple.

L'algèbre K[G] est un module semi-simple de longueur fini. K[G] est donc somme directe d'un nombre fini de sous-modules, correspondant à des représentations irréductibles. Soit (S_i) est une famille maximale de sous-modules non isomorphes deux à deux. Cette famille est fini et l'on note h son cardinal. La théorie des modules semi-simple indique que la composante isotypique de S_i ne contient que des représentations irréductibles isomorphes à S_i. Si d_i est le nombre de copies de S_i contenues dans une somme directe égal à la composante isotypique, alors celle-ci est notée $\scriptstyle S_i^{d_i}$ . On dispose de l'isomorphisme suivant :

$\mathbb K[G] \; \simeq \; \bigoplus_{i=1}^h S_i^{d_i}$

Si la décomposition en modules simples n'est pas unique, celle en composantes isotypiques l'est.

[modifier] Théorème d'Artin-Wedderburn

Voir l’article Théorème d'Artin-Wedderburn.

Avec les notations du paragraphe précédent, le théorème d'Artin-Wedderburn indique que :

Il existe un isomorphisme d'algèbres entre K[G] et la somme directe des h algèbres L_K(S_i) des endomorphismes de V_i en tant qu'espaces vectoriels sur K.

$\mathbb K[G] \; \simeq \; \bigoplus_{i=1}^h \mathcal L_{\mathbb K}(S_i)$

Cet isomorphisme montre par exemple que si (d_i) est la famille du paragraphe précédent, c'est aussi la dimension de S_i, on retrouve l'égalité suivante :

$g=\sum_{i=1}^h d_i^2\;$

Il est toute fois possible de déterminer l'isomorphisme directement, sans utiliser le théorème. La démonstration est donnée dans la boite déroulante.

Démonstration

[modifier] Centre de l'algèbre

Voir l’article Action par conjugaison.

Un anneau important de l'algèbre de groupe est le centre D de K[G], c'est à dire l'ensemble des éléments commutant avec tous les éléments de l'algèbre. La théorie des algèbres semi-simples indique que c'est un anneau isomorphe à K^h où h désigne le nombre maximal de représentations irréductibles non isomorphes deux à deux. Cette anneau est composée de la somme directe des homothéties dans L(S_i) si i varie de 1 à h.

$\mathbb K[G] \; \simeq \; \bigoplus_{i=1}^h \mathcal L_{\mathbb K}(S_i)\quad et \quad \mathbb D = \bigoplus_{i=1}^h \{f \in \mathcal L_{\mathbb K}(S_i) \; / \; \exists \lambda_i \in \mathbb K \quad f = \lambda_i.Id\}$

Dans le cas d'une algèbre de groupe, il est possible de déterminer les éléments du centre par leur décomposition dans la base canonique (e_s) où s décrit G. On obtient la proposition suivante :

Soit c une classe de conjugaison et d_c la somme des éléments de la base canonique indéxés par les éléments de c. Le centre de K[G] est l'espace vectoriel engendré par les éléments d_c lorsque c parcourt l'ensemble des classes de conjugaison.

Le nombre h de représentations irréductibles différentes est donc égal au nombre de classes de conjugaison. Cette analyse fournit des résultats complémentaires de ceux obtenus par les caractères. Cette théorie indique que les caractères forment une base orthonormale de l'ensemble des fonctions centrales. La relation entre les deux est établie par la proposition suivante, si C désigne l'ensemble des classes de conjugaison :

L'application φ défini ci-dessous, de l'espace des fonctions centrales K^C dans le centre de K[G] est un isomorphisme d'algèbre sur K.

$\forall f \in \mathbb K^G \quad \varphi (f) = \sum_{c \in C} f(c).d_c$

Pour cette raison, on identifie généralement le centre de l'algèbre et l'ensemble des fonctions centrales.

Le centre peut être vu de trois manières différentes, soit comme l'espace des fonctions centrales, soit comme une somme directe S d'algèbres d'endomorphismes d'espaces vectoriels L_K(S_i), soit comme un sous-espace vectoriel de K[G]. Si φ désigne l'isomorphisme de K[G] dans S, la relation entre les trois visions est la suivante, si χ_i est le caractère de S_i et d_i la dimension de S_i :

Soit u un élément du centre de K[G] et u_s ses coordonnées dans la base canonique, l'image de u par φ est une somme directe d'homothéties sur S_i de rapport λ_i avec :

$\lambda_i = \frac{1}{d_i}\sum_{s \in G} u_s \chi_i(s)$

Démonstrations

[modifier] Orthogonalité

La complémentarité des deux approches, par les caractères et par l'algèbre du groupe s'applique aussi sur les propriétés d'orthogonalité. Soit (V₁, ρ¹) et (V₂, ρ²) deux représentations de G :

Si χ₁ et χ₂ désigne les caractères de ρ¹ et ρ² et si les représentations (V₁, ρ¹) et (V₂, ρ²) sont considérées comme des G-module, alors l'égalité suivante est vérifiée :

$<\chi_1\, | \chi_2>=dim \; Hom_{\mathbb K}^G (V_1\, ,\, V_2)\;$

En utilisant les notations précédentes, notons :

$V_1 \simeq \bigoplus_{i=1}^h S_i^{n_{1i}}\quad et \quad V_2 \simeq \bigoplus_{i=1}^h S_i^{n_{2i}} \;$

Le lemme de Schur démontre que dim Hom_K^G (S_i, S_j) = δ_ij si i et j sont des entiers compris entre 1 et h et δ_ij désigne le symbole de Kronecker. On en déduit :

$dim \; Hom_{\mathbb K}^G (V_1\, ,\, V_2)=dim \; Hom_{\mathbb K}^G \Big(\bigoplus_{i=1}^h S_i^{n_{1i}}\, ,\, \bigoplus_{j=1}^h S_j^{n_{2j}}\Big)=\sum_{ij \in [1,h]} n_{1i}.n_{2j}dim \; Hom_{\mathbb K}^G (S_i\, ,\, S_j)=\sum_{i=1}^h n_{1i}.n_{2i} \;$

La propriété d'orthonormalité des caractères irréductibles permet de conclure.

[modifier] Applications

[modifier] Réciprocité de Frobenius

Voir l’article réciprocité de Frobenius.

Un bon exemple d'utilisation de la structure d'algèbre de groupe est donné par le critère de réciprocité de Frobenius. Il concerne un mode de construction de G-module appelé représentation induite. Soit H un sous-groupe de G et W un K[H]-module. Alors la structure suivante est le G-module induit par W :

$V\simeq K[G]\otimes_{K[H]}W \;$

La représentation induite correspond, à une extension des scalaires K[H] à l'anneau K[G] sur le H-module W. Dans le cas où H est un sous-groupe normal de G, le G-module induit est l'équivalent d'un produit semi-direct.

Le critère de réciprocité de Frobenius est une méthode simple pour calculer le produit hermitien du caractère d'un module induit. Si ψ désigne le caractère de la représentation θ issus du H-module W et χ celui d'une représentation ρ de G, si Ind ψ désigne le caractère d'une représentation induite, c'est à dire la représentation associée au module induit et Res χ le caractère de la restriction de ρ à H, alors :

$<Ind_H^G\,\psi\,|\,\chi>_G=<\psi\,|\,Res_H^G\,\chi>_H \;$

Elle se démontre en établissant un isomorphisme entre les deux structures de morphismes de K-algèbre associée, l'égalité des dimensions permet de conclure.

[modifier] Entier algébrique

Voir l’article Entier algébrique.

Le centre de K[G] est un anneau commutatif sur le corps K, une extension des rationnels. En conséquence, il est possible de parler d' entier algébrique sur cet ensemble. Cet approche est largement utilisée pour l'analyse de l'algèbre d'un groupe fini, ce paragraphe est un exemple. Notons c les classes de conjugaisons et d_c la somme des éléments de c.

Soit u un élément du centre de K[G] tel que toutes ses coordonnées dans la base (d_c) soit entières (au sens algébrique) sur K, alors u est un entier algébrique.

Comme u est combinaison linéaire à coefficients dans les entiers algébriques des valeurs d_c, il suffit de montrer que ces valeurs sont des entiers algébriques. Soit a et b deux classes de conjugaisons, d_ad_b est combinaison linéaire à coefficients entiers des d_c, en conclusion le Z-module est de type fini, ce qui montre que la famille des d_c est composée d'entiers algébriques. Or, u est combinaison linéaire à coefficients entiers algébriques d'entiers algébriques, ce qui démontre le résultat.

Avec les notations du paragraphe précédent, on dispose de la propriété :

Soit u un élément du centre de K[G] tel que toutes ses coordonnées soit entières (au sens algébrique) sur K, alors le nombre suivant est un entier algébrique.

$\lambda_i = \frac{1}{d_i}\sum_{s \in G} u_s \chi_i(s)$

Considérons l'image de u par φ_i, φ_i(u) est un élément du centre de L(S_i), et φ_i est un morphisme d'algèbre. En conséquence φ_i(u) est un entier algébrique du centre de L(S_i), c'est à dire de l'espace des homothéties de S_i, isomorphe au corps K. Le rapport de l'homothétie est donc un entier algébrique de K.

On en déduit la propriété suivante :

Le degré d_i d'une représentation irréductible divise l'ordre g du groupe.

Considérons l'élément u égal à la somme si s décrit G des éléments χ_i(s_-1).s, le caractère d'un élément de s est la trace d'un endomorphisme admettant X^g - 1 comme polynôme annulateur. La trace est donc somme de racines g-ième de l'unité est donc à valeur dans les entiers algébriques. La fonction χ_i est un caractère donc une fonction centrale de G, ceci démontre que u est bien un élément du centre de G à coefficients dans la base G donc entiers algébriques. La proposition précédente s'applique et la valeur g/d_i est celle d'un entier algébrique, c'est aussi un nombre rationnel et donc un élément de Z. Ce qui démontre que d_i divise l'ordre du groupe.

[modifier] Notes et références

Articles sur les Représentations d'un groupe d'ordre fini

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[modifier] Liens externes

(fr) Cours de représentation des groupes finis par M. Broué de l'université de Paris VII
(fr) Représentation linéaire des groupes finis, une introduction par D. Ferrand de l'université de Renne
(en) Finite group representations for the pure mathematician par Peter Web

[modifier] Références

Jean-Pierre Serre, Représentations linéaires des groupes finis [détail des éditions]
(en) Marshall Hall The theory of groups [détail des éditions]
Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
N. Bourbaki Algèbre, Chapitre VIII Paris, Hermann 1958

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Algèbre d'un groupe fini

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Sommaire

[modifier] Introduction

[modifier] Nature de la démarche

[modifier] Applications

[modifier] Définitions

[modifier] Algèbre d'un groupe

[modifier] G-module

[modifier] Contexte

[modifier] Représentation linéaire des groupes

[modifier] Caractère

[modifier] Représentation régulière

[modifier] Application de la théorie des algèbres semi-simples

[modifier] Module semi-simple

[modifier] Théorème d'Artin-Wedderburn

[modifier] Centre de l'algèbre

[modifier] Orthogonalité

[modifier] Applications

[modifier] Réciprocité de Frobenius

[modifier] Entier algébrique

[modifier] Notes et références

[modifier] Liens externes

[modifier] Références

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