אי שוויון צ'בישב

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

בתורת ההסתברות, אי שוויון צ'בישב הוא אי שוויון המאפשר להעריך את ההתפלגות של משתנים מקריים על ידי התוחלת שלהם.

אי-שוויון צ'בישב קובע כי אם השונות והתוחלת של משתנה מקרי $\ X$ קיימים, אז לכל $\ C > 0$ מתקיים: $\operatorname{P}(|X|\geq C) \leq {\operatorname{E}(X^2) \over C^2}$

בפרט, כאשר מציבים $X-\operatorname{E}X$ במקום $\ X$ , ומשתמשים בעובדה כי $\operatorname{E}(X-\operatorname{E}X)^2= \operatorname{Var}X$ מתקבלת הגרסה הבאה של אי-שוויון צ'בישב:

$\operatorname{P}(|X-\operatorname{E}X|\geq C) \leq {\operatorname{Var}X \over C^2}$

בגרסתו זו, אי-שוויון צ'בישב מאפשר להעריך את ההסתברות לכך שמשתנה מקרי כלשהו יסטה במידה זו או אחרת מהתוחלת שלו באופן מדויק יותר מאי שוויון מרקוב ונותן משמעות נוספת למושג השונות. בפרט נובע ממנו, שכאשר השונות קטנה, ההסתברות לסטיות גדולות מהתוחלת קטנה גם היא.

כמו כן, בעזרת אי-שוויון צ'בישב מוכיחים את החוק החלש של המספרים הגדולים.

[עריכה] הוכחת אי-שוויון צ'בישב

על פי ההגדרה: $\operatorname{E}(f^2)=\int_{\Omega}f^2(\omega)\,dP(\omega)$ . אם נבצע אינטגרציה רק על קבוצת הנקודות במרחב ההסתברות עבורן $|f(\omega)|\geq C$ נקבל גודל קטן יותר או שווה לזה שהתחלנו ממנו:

$\int_{\Omega}f^2(\omega)\,dP(\omega)\geq \int_{\{\omega: |f(\omega)|\geq C\}}f^2(\omega)\,dP(\omega)\geq\int_{\{\omega: |f(\omega)|\geq C\}}C^2\,dP(\omega)=C^2\operatorname{P}(|f|\geq C)$