מאפיין של שדה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

המאפיין (או המציין) של שדה הוא המספר השלם הקטן ביותר השווה לאפס בשדה. ביתר פירוט, המספרים הם איברים של השדה, ויש שתי אפשרויות: או שכולם שונים זה מזה, ואז אומרים שהשדה בעל מאפיין אפס, או שלא, ואז המאפיין הוא המספר הקטן ביותר של 1-ים שיש לחבר כדי לקבל 0. במקרה זה המאפיין הוא מספר ראשוני (משום שאין מחלקי אפס בשדה).

[עריכה] דוגמאות

שדה המספרים הרציונליים וכל ההרחבות שלו, כמו המספרים הממשיים והמספרים המרוכבים הם בעלי מאפיין אפס. שדה סופי אינו יכול להיות בעל מאפיין אפס.

בשדה ממאפיין מתקיים השוויון , כלומר שהעלאה בחזקת p היא הומומורפיזם מהשדה אל עצמו. הומומורפיזם זה הוא תמיד חד-חד-ערכי, ומגדיר שיכון של השדה לתוך עצמו (שהוא על אם השדה סופי, ראו האוטומורפיזם של פרובניוס).

[עריכה] הכללות

אפשר להגדיר מאפיין של חוג עם יחידה R באותה דרך בה מגדירים מאפיין של שדה. ההעתקה מ- לסכום של פעמים 1, מהווה הומומורפיזם מחוג השלמים ל- R, שהגרעין שלו הוא האידאל הנוצר על-ידי המאפיין. לדוגמה, לכל מערכות המספרים יש מאפיין אפס.

המאפיין של תחום שלמות הוא תמיד אפס או מספר ראשוני, אבל לכל מספר טבעי n קיים חוג בעל מאפיין n: חוג המנה .

אפשר להגדיר מאפיין גם עבור חוג בלי יחידה: המאפיין של R הוא המספר המינימלי n כך שסכום n פעמים שווה לאפס עבור כל איבר בחוג. המאפיין שווה לאקספוננט של של החוג כחבורה קומוטטיבית.

[עריכה] ראו גם

במקרים רבים מפתחים תאוריות מתמטיות תוך כדי הנחות על המאפיין של השדה. למשל, בגאומטריה אלגברית ובתחומים רבים באנליזה מקובל לעבוד מעל שדה סגור אלגברית ממאפיין אפס. התאוריה של תבניות ריבועיות מסתבכת מעט במאפיין 2. בתורת גלואה הרחבות של שדות ממאפיין אפס הם תמיד ספרביליים, בעוד שהרחבות של שדות ממאפיין חיובי אינן בהכרח כאלה (ראו הרחבות ציקליות של שדות).