מרחב דואלי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

המרחב הדואלי הוא מבנה טבעי המוגדר על מרחב וקטורי V מעל שדה F. זהו מרחב הכולל את כל הפונקציונלים הלינאריים V לשדה F. למבנה זה יש חשיבות רבה באלגברה לינארית ובפרט באנליזה פונקציונלית וגאומטריה דיפרנציאלית.

תוכן עניינים

1 הגדרת המרחב הדואלי
- 1.1 מעל מרחב וקטורי
- 1.2 מעל מרחב בנך
2 הבסיס הדואלי
3 ההעתקה הדואלית
4 ראו גם

[עריכה] הגדרת המרחב הדואלי

[עריכה] מעל מרחב וקטורי

יהי $\ V$ מרחב וקטורי מעל השדה $\ F$ .

המרחב הדואלי של $\ V$ שיסומן ב- $\ V^*$ הוא המרחב הווקטורי שאיבריו הם הפונקציות הלינאריות $\ V \to F$ . החיבור והכפל בסקלר מוגדרים בצורה הטריויאלית.

איבר ב- $\ V^*$ נקרא פונקציונאל לינארי.

[עריכה] מעל מרחב בנך

יהי $\ X$ מרחב בנך מעל שדה סקלרי $\ F$ . אזי פונקציונל $\ \Phi : X(F) \to F$ הוא פונקציה המתאימה לכל איבר במרחב מספר כלשהו מהשדה $\ F$ .

נהוג לסמן את קבוצת כל הפונקציונלים הלינאריים מעל $\ X$ בסימון $\ X^\#$ . זהו מרחב לינארי. בדרך כלל עוסקים רק בפונקציונלים לינאריים ולכן בהרבה טקסטים בנושא המונח "פונקציונל" כולל את דרישת הלינאריות.

מגדירים נורמה של פונקציונל כפי שמגדירים נורמה על כל אופרטור במרחב נורמי, באופן הבא:

$\ \| \Phi \| = \sup_{x \ne 0}{\frac{ | \Phi (x) | } {\| x \|} } = \sup_{ \| x \| \le 1}{ | \Phi (x) | }$

אזי תמיד מתקיים ש $\ | \Phi (x) | \le \| \Phi \| \cdot \| x \|$ .

פונקציונל שהנורמה שלו סופית ( $\ \| \Phi \| < \infty$ ) נקרא "פונקציונל חסום" ואז הוא גם בפרט פונקציונל רציף לפי תנאי ליפשיץ.

את קבוצת כל הפונקציונלים הלינאריים והחסומים על $\ X$ מסמנים ב- $\ X^*$ . זהו מרחב בנך - הוא לינארי, הוא נורמי, והוא שלם. למרחב $\ X^*$ קוראים "המרחב הדואלי" של $\ X$ .

למרחב הדואלי יש חשיבות רבה באנליזה פונקציונלית.

[עריכה] הבסיס הדואלי

נניח כי $\ V$ ממימד סופי ויהי $\ \left\{v_i\right\}_{i=1}^n$ בסיס עבורו.

נסמן ב- $\ v_i^*$ את הפונקציונאל הלינארי המקבל 1 על $\ v_i$ ו-0 על שאר אברי הבסיס (כמובן שיש פונקציונאל לינארי יחיד כנ"ל).

הקבוצה $\ \left\{v_i^*\right\}_{i=1}^n$ מהווה בסיס ל- $\ V^*$ שיקרא הבסיס הדואלי. בסיס זה מקיים את כלל הדלתא של קרונקר - $\ v_i^* (v_j) = \delta_{ij}$ - ואומרים שהוא בי-אורתוגונלי לבסיס הישר.