פונקציונל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

במתמטיקה, פונקציונל הוא שם לסוג מסוים של פונקציה. למושג יש שתי משמעויות עיקריות, בעלות מקור היסטורי משותף אך משמעויות שונות מעט בימינו.

במקור, השם "פונקציונל" בא לתאר פונקציה שהתחום שלה הוא קבוצה של פונקציות, כלומר פונקציה שפועלת על פונקציות. שימוש זה עדיין נפוץ בפיזיקה ובמדעי המחשב.

השימוש המקובל יותר לשם "פונקציונל" נובע מתחום האנליזה הפונקציונלית. מכיוון שבתחילה עסקה האנליזה הפונקציונלית במחקר מרחבים של פונקציות, התלכדה משמעות השם עם המשמעות המקורית שלו, אולם לאחר שאומצה גישה אקסיומטית כללית, נותר השם "פונקציונל" כדי לתאר פונקציה הפועלת על מרחב וקטורי כללי.

מבחינה פורמלית, פונקציונל הוא פונקציה (בדרך כלל לינארית) ממרחב נורמי (מרחב וקטורי עם נורמה) אל השדה שמעליו מוגדר המרחב. כלומר: $\ \Phi : X(F) \to F$ . בדרך כלל נהוג להגדיר פונקציונלים מעל מרחבי בנך ממשיים או מרוכבים, מאחר והם המרחבים המעניינים ביותר באנליזה פונקציונלית.

[עריכה] הגדרה כללית

יהי $\ X$ מרחב בנך מעל שדה סקלרי $\ F$ . אזי פונקציונל $\ \Phi : X(F) \to F$ הוא פונקציה המתאימה לכל איבר במרחב מספר כלשהו מהשדה $\ F$ .

נהוג לסמן את קבוצת כל הפונקציונלים הלינאריים מעל $\ X$ בסימון $\ X^\#$ . זהו מרחב לינארי. בדרך כלל עוסקים רק בפונקציונלים לינאריים ולכן בהרבה טקסטים בנושא המונח "פונקציונל" כולל את דרישת הלינאריות.

מגדירים נורמה של פונקציונל כפי שמגדירים נורמה על כל אופרטור במרחב נורמי, באופן הבא:

$\ \| \Phi \| = \sup_{x \ne 0}{\frac{ | \Phi (x) | } {\| x \|} } = \sup_{ \| x \| \le 1}{ | \Phi (x) | }$

אזי תמיד מתקיים ש $\ | \Phi (x) | \le \| \Phi \| \cdot \| x \|$ .

פונקציונל שהנורמה שלו סופית ( $\ \| \Phi \| < \infty$ ) נקרא "פונקציונל חסום" ואז הוא גם בפרט פונקציונל רציף לפי תנאי ליפשיץ.

את קבוצת כל הפונקציונלים הלינאריים והחסומים על $\ X$ מסמנים ב- $\ X^*$ . זהו מרחב בנך - הוא לינארי, הוא נורמי, והוא שלם. למרחב $\ X^*$ קוראים "המרחב הדואלי" של $\ X$ .

למרחב הדואלי יש חשיבות רבה באנליזה פונקציונלית.

משפט ההצגה של ריץ מסייע להבנת המבנה של המרחב הדואלי. למשל, מעל מרחב הילברט, ניתן לראות כל פונקציונל חסום בתור מכפלה פנימית. כלומר, אם $\ f(x)$ הוא פונקציונל חסום מעל מרחב הילברט, אז קיים $\ y$ במרחב כך ש- $\ f(x)=\langle x,y\rangle$ , וכמו כן מתקיים $\ \| f\|=\|y \|$ .

[עריכה] פונקציונל מעל מרחב פונקציות

באנליזה של מרחבים פונקציונלים (מרחבים שאיבריהן הם פונקציות, לרוב פונקציות ממשיות בעלי מידה מסוימת של חלקות), פונקציונל היא "פונקציה של פונקציה". כלומר: פונקציונל הוא פונקציה המקבלת (פועלת על) פונקציה ומחזירה מספר (ממשי או מרוכב) בתמונה. זהו מקרה פרטי של ההגדרה הכללית.

לדוגמה: $\!\, I [f] = \int_0^1{ f(x) \ dx }$ . זהו פונקציונל המקבל פונקציה ומחזיר את האינטגרל המסוים שלה בקטע [0,1]. זהו פונקציונל לינארי.