משוואות פרידמן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

משוואות פרידמן הן משוואות דיפרנציאליות המתארות את התפשטות היקום כתלות בצפיפות היקום (הצפיפות הכוללת של טנזור המאמץ-מסה-אנרגיה).

משוואות אלה נובעות מהצבת מטריקת פרידמן-רוברטסון-ווקר של יקום הומוגני ואיזוטרופי במשוואות איינשטיין של תורת היחסות הכללית. משוואות פרידמן הן זוג משוואות דיפרנציאליות המתאר את התפתחותו של פרמטר הסקלה של היקום $\ R(t)$ כתלות בזמן.

משוואות אלה הן

$\ \left( \frac{\dot{R}}{R} \right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - k \frac{c^2}{R^2} + \frac{\Lambda}{3}$

$\ \frac{\ddot{R}}{R} = -\frac{4 \pi G} {3 c^2} (\rho c^2 + 3 P ) + \frac{\Lambda}{3}$

כאשר $Λ$ הוא הקבוע הקוסמולוגי של איינשטיין, $\ \rho$ היא צפיפות המסה-אנרגיה הרגילה ו־P הוא הלחץ. הגודל k מבטא את העקמומיות של היקום ויכול לקבל אחד מ- 3 ערכים: 1+ (יקום כדורי), 1- (יקום היפרבולי) ו- 0 (יקום שטוח).

מצמד משוואות אלה אפשר להסיק משוואה שלישית שימושית:

$\ \dot{\rho} c^2 = -3 \frac{\dot{R}}{R} ( \rho c^2 + P )$

משוואה זו מבטאת שימור אנרגיה.

כדי לפתור משוואות אלו יש לדעת את משוואות המצב של היקום (אלה משוואות המקשרות בין הלחץ לצפיפות, והן נובעות מהפיזיקה של היקום) וכן את ערכי הפרמטרים k (עקמומיות היקום) ו־ $ρ$ (צפיפות היקום).

הגודל $\ H(t) = \frac{\dot{R}(t)}{R(t)}$ נקרא קבוע האבל (למרות שהוא משתנה בזמן). ערכו המוערך כיום הוא