פולינומי הרמיט

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

פולינומי הרמיט, על שמו של המתמטיקאי שארל הרמיט, הם סדרה (אינסופית) של פולינומים אורתוגנליים רציפים המשמש בעיקר בפיזיקה (פתרון למשוואת שרדינגר בתנאים מסוימים) ובקומבינטוריקה.

מבחינה מתמטית, הפולינומים הינם פתרונות למשוואה הדיפרנציאלית $\ {d^2y \over dx^2}-2xy+2ny=0$ עבור תחום ההגדרה $\ -\infty\leq x \leq\infty$ , והוא מוגדר באופן הבא: $\ H_n(x)={(-1)^n}{e^{x^2}}{d^n \over dx^n}{e^{-x^2}}$

לכאורה פונקציית בסל מהווה פתרון למשוואות מסוג זה, אולם יש לשים לב כי המקדם $\ (bc)^2$ בהגדרתה שווה למספר שלילי.

חמשת פולינומי הרמיט הראשונים

חמשת פולינומי הרמיט הראשונים:

$H_0(x)=1\,$

$H_1(x)=2x\,$

$H_2(x)=4x^2-2\,$

$H_3(x)=8x^3-12x\,$

$H_4(x)=16x^4-48x^2+12\,$

$H_5(x)=32x^5-160x^3+120x\,$

$H_6(x)=64x^6-480x^4+720x^2-120\,$

[עריכה] תכונות ומאפיינים

[עריכה] אורתוגנליות

קל לראות כי ניתן להציג את המשוואה הדיפרנציאלית שלעיל כאופרטור שטורם-ליוביל: $\ {d \over dx} [e^{-x^2}{dy \over dx}]={e^{-x^2}}2ny$ , ולכן על פי תורת שטרום ליוביל פולינום הרמיט הינו אורתוגנלי: $\int\limits_{ - \infty }^\infty {H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}dx}= \delta_{n,m}(x) A_n$ כאשר $\ A_n$ נתון על ידי $\ A_n=\int\limits_{ - \infty }^\infty {H_n^2(x)e^{-x^2}dx}=\sqrt {\pi} 2^n n!$

בשל תכונת האורתוגונליות של הפולינום, ניתן לפתח כל פונקציה לטור פונקציות על בסיסו:

$\ f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty{C_n H_n(x)}$

כאשר את המקדם $\ C_n$ ניתן לחשב על ידי $\ C_n=\int\limits_{ - \infty }^\infty {f(x) H_n(x)e^{-x^2}dx}$

[עריכה] פונקציה יוצרת

הפונקציה היוצרת, דהיינו פונקציה של שני משתנים ממנה ניתן ליצור את $\ H_n(x)$ על ידי n גזירות היא

$\ \Phi(x,h)=e^{2xh-h^2}=\sum\limits_{n=0}^\infty{H_n(x){h^n\over{n!}}}$

כאשר בכדי ליצור פולינום הרמיט מסדר n, יש לגזור את הפונקציה היוצרת פעמים ולהציב $\ h=0$ .

[עריכה] יחסי רקורסיה

ניתן להגדיר את פולינום הרמיט מסדר n בצורה רוקרסיבית: $\ H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x)$

[עריכה] הצגה אינטגרבילית

הצגה אינטגרבילית של פולינום הרמיט: $\ H_n(x)=\sqrt{2n\over \pi}\int\limits_{ - \infty }^\infty {(x+it)^n e^{-t^2}dt}$

[עריכה] שימושים

פולינומי הרמיט מופיעים באוסצילטור הרמוני קוונטי שם הפונקציות העצמיות הן

$\left\langle x | \psi_n \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \hbox{exp} \left(- \frac{m\omega x^2}{2 \hbar} \right) H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right)$