טריגונומטריה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

טריגונומטריה (מיוונית: מדידת המשולש) היא ענף במתמטיקה העוסק בקשר שבין זוויות וצלעות. מקורו ההיסטורי של הענף במדידות כוכבים שבוצעו על ידי ספנים על מנת לקבוע מסלולי שיט.

תוכן עניינים

1 הפונקציות הבסיסיות
2 מעגל היחידה לפונקציות הטריגונומטריות
3 פונקציות נוספות
4 "נוסחאון"
5 קירובים של הפונקציות הטריגונומטריות
6 הקשר לפונקציות מעריכיות והרחבה לערכים מרוכבים
7 ראו גם
8 קישורים חיצוניים

[עריכה] הפונקציות הבסיסיות

בטריגונומטריה שתי פונקציות בסיסיות המתארות יחסים בין צלעות במשולשים ישרי זווית: סינוס וקוסינוס.
במשולש ישר זווית כלשהו (x בין 0° ל-90° במעלות או בין 0 ל-π/2 ברדיאנים): סינוס של זווית (Sin x) מבטא את היחס שבין הניצב שמול הזווית והיתר במשולש, כמוצג בדוגמה הבאה:

$\sin A = \frac{a}{c}$

קוסינוס של זווית (Cos x) הוא היחס בין הניצב הסמוך לזווית והיתר במשולש, כמוצג בדוגמה הבאה:

$\cos A = \frac{b}{c}$

השם קוסינוס הוא קיצור של complement sinus - סינוס הזווית המשלימה.

ממשפט פיתגורס נובע כי סכום ריבועי הסינוס והקוסינוס של אותה זווית שווה ל-1.

לזוויות גדולות בהן $\ x \ge 90^{\circ}$ או $\ x \le 0^{\circ}$ , הרחיבו את המושגים האלו לקואורדינטות במעגל הקרוי מעגל היחידה, שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו 1.

על-פי הרחבה זו, סינוס של זווית הוא קורדינטת ה-y של נקודה הנוצרת על היקף המעגל עם "סיבוב" הרדיוס נגד כיוון השעון והצבתו בזווית הנ"ל בינו לציר החיובי של x, וקוסינוס הזווית הוא קורדינטת ה-x של אותה נקודה.

גודלם של הערכים שמחזירות פונקציות הסינוס וקוסינוס הוא לכל היותר (בערך מוחלט) 1, מפני שלא ייתכן שאחד הניצבים יהיה ארוך יותר מיתר המשולש. (היתר הוא הצלע הארוכה ביותר במשולש ישר זווית.)

בספרות הרבנית, החל מהמאה ה-14 וכמעט עד לימינו, כונה הסינוס - "בקע", והקוסינוס - "תשלום הבקע". את המונח "בקע" טבע רבי יצחק הישראלי בעל הספר "יסוד עולם".

[עריכה] מעגל היחידה לפונקציות הטריגונומטריות

זהו מעגל ברדיוס של יחידה אחת, שמציג באופן גרפי את הפונקציות הטריגונומטריות.
הוא מהווה שיטה נוחה לזכור את הסימן (+/-) של ערכי הפונקציות הטריגונומטריות.

סינוס הוא הערך על ציר Y
קוסינוס הוא הערך על ציר X
טאנגנס הוא הערך על המשיק למעגל בנקודה (1,0)
קוטנגנס הוא הערך על המשיק למעגל בנקודה (0,1)

[עריכה] פונקציות נוספות

בנוסף על שתי פונקציות בסיסיות אלו קיימות עוד 4 פונקציות טריגונומטריות, אם כי הן פחות שכיחות:

טנגנס של זווית (tg x או tan x) השווה ליחס בין סינוס של זווית לקוסינוס שלה (והיא לא מוגדרת כשהזווית שווה ל- 180n+90 (כש-n הוא מספר שלם), שכן (cos (180n+90 שווה ל-0).
קוטנגנס של זווית (ctg x או cot x) שהיא הפונקציה ההופכית לטנגנס, כלומר היא שווה ליחס בין קוסינוס של זווית לסינוס של אותה זווית (ולכן, בדומה להסבר בסעיף הקודם, היא לא מוגדרת לזוויות השוות ל- 180n).
סקאנס של זווית (sec x) השווה ל- $\left(\cos x\right)^{-1}$ .
קוסקאנס של זווית (cosec x) השווה ל- $\left(\sin x\right)^{-1}$ .

שימושים חשובים של הפונקציות הטריגונומטריות הם במשפט הסינוסים ובמשפט הקוסינוסים.

ישנן גם פונקציות הפוכות לפונקציות הטריגונומטריות: arcsin x, arccos x וכו', שתוצאתן הזווית שנותנת את היחס הטריגונומטרי x.

[עריכה] "נוסחאון"

טריק נחמד לזכור את ערכי הפונקציות סינוס וקוסינוס:
$\begin{matrix} & 0^{o} & 30^{o} & 45^{o} & 60^{o} & 90^{o} \\ sin: & \dfrac{\sqrt{0}}{2} & \dfrac{\sqrt{1}}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{\sqrt{4}}{2} \\ \\ cos: & \dfrac{\sqrt{4}}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{\sqrt{1}}{2} & \dfrac{\sqrt{0}}{2} \end{matrix}$

[עריכה] קירובים של הפונקציות הטריגונומטריות

את טור טיילור של הפונקציות הטריגונומטריות אפשר למצוא בעזרת הגבול של sin(x)/x. הטורים המתקבלים הם

$\ \sin(x) =x - \frac {x^3}{3!} + \frac {x^5}{5!} -... \approx x$

ו-

$\ \cos(x) =1 - \frac {x^2}{2!} + \frac {x^4}{4!} -... \approx 1-\frac{x^2}{2}$

(כל החישובים נעשים ברדיאנים). פונקציות הסינוס והקוסינוס הן פונקציות אנליטיות. טורי טיילור שלהן מתכנסים אליהן במידה שווה בכל הישר הממשי.

כמובן שבאמצעות חישוב איברים נוספים בטור הטיילור ניתן לקבל קירובים ברמת דיוק הולכת וגדלה. עם זאת, אפשר לבדוק את ערך הפונקציה באמצעות טור טיילור רק לזוויות שקרובות יחסית לאפס, ולהשתמש ככל הניתן בזהויות טריגונומטריות כדי לקבל תוצאות עבור זוויות גדולות יותר. למשל, אם רוצים לחשב את $\ \sin(80^{\circ})$ ניתן להשתמש בנוסחה $\ \sin(x)=\cos(90^{\circ}-x)$ כך שצריך לחשב רק את $\ \cos(10^{\circ})$ , וזווית זו קרובה יחסית לאפס.

כמו כן, ניתן לחשב בקירוב (לא גדול) את הפונקציה $\ \sin(x)$ בערכים בין 0 ל90° כך:

$\ \sin(x) = - \frac {4}{\pi^3} x^3 + \frac {3}{\pi} x$

גם פה, החישובים נעשים ברדיאנים.

[עריכה] הקשר לפונקציות מעריכיות והרחבה לערכים מרוכבים

נוסחת אוילר מקשרת בין הפונקציות הטריגונומריות לפונקציות המעריכיות. באמצעות הקשר: $\ e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$ וזהויות של פונקציות טריגונומטריות מקבלים: $\ e^{-ix} = \cos(x) - i\sin(x)$ ולכן $\ \cos(x)= \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$ $\ \sin(x)= \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$
הצגה זו של הפונקציות הטריגונומטריות מאפשרת לנו להרחיב את הפונקציות הטריגונומטריות לערכים מרוכבים. בדרך זו מתקבלות פונקציות הולומורפיות במקרה של סינוס וקוסינוס ופונקציות מרומורפיות במקרה של טנגנס וקוטנגנס.