תנע זוויתי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

תנע זוויתי (Angular Momentum) – מושג בענף המכניקה של הפיזיקה. לכל גוף שמסתובב יש תנע זוויתי, שמעניק לו יציבות. עובדה זו מנוצלת, בין היתר, בבנית כלי רכב דו-גלגליים (אופנוע, אופניים), גירוסקופ מכני, ודיאבולו.

תוכן עניינים

1 תנע זוויתי של גוף נקודתי
2 תנע זוויתי של גוף קשיח
3 תנע זוויתי במכניקת הקוונטים
- 3.1 תיאור מתמטי
- 3.2 שימושים
4 קישורים חיצוניים

[עריכה] תנע זוויתי של גוף נקודתי

מבחינה מתמטית, התנע הזוויתי של גוף נקודתי יחסית לנקודת ייחוס מסוימת הוא:

$\vec L=\vec r\times\vec p$

(L הוא התנע הזוויתי, r הוא וקטור המיקום יחסית לנקודת הייחוס, p הוא התנע הקווי, והפעולה ביניהם היא מכפלה וקטורית)

מושג זה שימושי מכיוון ש:

$\frac{d \vec L}{dt}=\sum \left( \vec r\times\vec F \right)$

הגודל

$\vec \tau= \vec r\times\vec F$

מכונה מומנט כוח. במקרה חשוב, בו פועל כוח מרכזי (כמו במערכת השמש, או באטום), מומנט הכוח הוא אפס, ולכן התנע הזוויתי משתמר. יתר על כן, אפילו פועלים על גוף מספר מומנטים, אך הם מבטלים האחד את השני, גם אז התנע הזוויתי נשמר. לכן מאוד נוח לנתח מערכות פיזיקליות תוך שימוש במושג של "תנע זוויתי".

על פי חוק נטר, שימור התנע הזוויתי במערכת מעיד על אינוורינטיות של ההמילטוניאן ביחס לפעולת סיבוב.

[עריכה] תנע זוויתי של גוף קשיח

עבור גוף קשיח שלו מומנט התמד (מומנט אינרציה) I יחסית לציר מסיים, ואשר מסתובב סביב ציר זה במהירות זוויתית $ω$ , מתקיים $\ L = I \omega$ .

כאשר הגוף לא כבול לציר מסוים, הנוסחה הופכת ל: $\ \vec L = I \vec \omega$ כאשר I הוא טנסור. במקרה כזה התנע הזוויתי לא יהיה תמיד בכיוון של וקטור המהירות הזוויתית.

[עריכה] תנע זוויתי במכניקת הקוונטים

במכניקת הקוונטים, תנע זוויתי הוא אופרטור הרמיטי בעל חשיבות מהמעלה הראשונה. אופרטור התנע הזוויתי מופיע כאשר פותרים בעיה תלת-ממדית בקואורדינטות כדוריות ולפוטנציאל יש סימטריה ספרית.

[עריכה] תיאור מתמטי

אופרטור התנע הזוויתי $\vec{L}$ הוא אופרטור וקטורי ומוגדר על ידי

$\ \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$

כאשר $\vec{r}$ הוא אופרטור המקום התלת-ממדי ואילו $\ \vec{p} = -i \hbar \vec{\nabla}$ הוא אופרטור התנע הקווי התלת-ממדי. שני אלה הם גם אופרטורים וקטורים. נהוג לרשום הגדרה של L לפי רכיבים:

$\ L_k = \varepsilon_{ijk}r_i p_j$

למשל:

$\ L_z = x p_y - y p_x$ .

נהוג להסתכל בדרך כלל או על ריבועו או על רכיביו. כמו כן, נהוג להגדיר אופרטורי סולם (אופרטורי העלאה והורדה) של תנע זוויתי:

$\ L_{\pm} = L_x \pm i L_y$

אופרטורים אלה הם כלי חישובי שימושי מאוד.

יחסי החילוף של אופרטור התנע הזוויתי הם:

$\ [ L_i , L_j ] = i \hbar \varepsilon_{ijk} L_k$ כאשר $\varepsilon_{ijk}$ הוא טנזור לוי-צ'יויטה ו [ , ] הוא הקומוטטור שמוגדר $\ [ A,B ] = AB - BA$
$\ [ L^2 , L_z ] = 0$
$\ [ L_z , L_{\pm} ] = {\pm} \hbar L_{\pm}$
$\ [ L^2 , L_{\pm} ] = 0$

יחסי הלכסון של אופרטור התנע הזוויתי הם:

$\ L^2 | l,m \rang = \hbar^2 l (l+1) | l,m \rang$
$\ L_z | l,m \rang = \hbar m | l,m \rang$
$\ L_{\pm} | l,m \rang = \hbar \sqrt{ l(l+1) - m(m \pm 1)} | l , m \pm 1 \rang$

בסיס התנע הזוויתי בהצגה מרחבית הוא $\ \lang \theta , \phi | l , m \rang = Y_{l,m}( \theta , \phi )$ הוא הרמוניות ספריות - פונקציות מתמטיות זוויתיות שתכונותיהן נחקרו לעומק וידועות למתמטיקאים והפיזיקאים העוסקים בתחום.

[עריכה] שימושים

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

כאשר נתון חלקיק בפוטנציאל ספרי-סימטרי (כלומר, הפוטנציאל תלוי רק במרחק החלקיק מהראשית r), נוח לעבוד בקואורדינטות כדוריות. מאחר שהתנע הזוויתי מתחלף עם ההמילטוניאן ובבסיס זה אפשר לבצע הפרדת משתנים $\ \psi(\vec{r}) = R(r) Y_{l,m}(\theta,\phi)$ במשוואת שרדינגר ולקבל:

משוואה עבור החלק הזוויתי:
- $\ L^2 = \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}$
פתרון משוואה זאת הן ההרמוניות הספריות $\ Y_{l,m}$ .
משוואה עבור החלק הרדיאלי:
- $\ \frac{1}{r} \frac{\partial ^2 }{\partial r^2} \left( r R(r) \right) + \frac{\hbar^2 l (l+1)}{2 m r^2} R(r) + V(r)R(r) = E \ R(r)$
פתרון המשוואה הרדיאלית לגבי $\ u(r) = rR(r)$ מערב בדרך כלל פונקציות בסל.

היכולת לבצע הפרדת משתנים זו היא תוצאה של לכסון אופרטור התנע הזוויתי שמתחלף עם ההמילטוניאן.

באטום המימן תנע זוויתי הוא זה שיוצר ניוונים המאפשרים לאכלס רמות אנרגיה זהות במספר מצבים קוונטים שונים. בנוסף, עבור חלקיקים בעלי ספין, ישנו אפקט של צימוד ספין-מסילה ובה נוצרת אינטראקציה בין התנע הזוויתי של החלקיק לספין שלו, מהצורה $\ H_{LS} = k \vec{L} \cdot \vec{S}$ שכדי לפתור אותה יש לעבור לבסיס אופרטורים חדש על ידי חיבור תנע זוויתי, $\ \vec{J} = \vec{L} + \vec{S}$ .