Egyenlőtlenség

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Ha két szám vagy algebrai kifejezés a > (nagyobb), < (kisebb), ≠ (nem egyenlő), ≥ (nagyobb vagy egyenlő), ≤ (kisebb vagy egyenlő) jelek valamelyikével van összekapcsolva, akkor azt egyenlőtlenségnek nevezzük.

[szerkesztés] Tulajdonságai

1. Ha az egyenlőtlenség két oldalát felcseréljük, annak értelme ellenkezőre változik:

ha a > b, akkor b < a.

2. Tranzitív tulajdonság:

ha a > b és b > c, akkor a > c.

3. Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát tetszés szerinti számmal növeljük vagy csökkentjük, annak értelme nem változik:

ha a > b, akkor a + c > b + c és a – c > b - c, vagy

ha a < b, akkor a + c < b + c és a - c < b – c.

4. Megegyező értelmű egyenlőtlenségek bal és jobb oldalait külön-külön összeadva, az egyenlőtlenség értelme nem változik meg:

ha a > b és c > d, akkor a + c > b + d, vagy

ha x < t és y < u, akkor x + y < t + u.

5. Két ellentétes értelmű egyenlőtlenség bal és jobb oldalait egymásból kivonva a kisebbítendővel megegyező értelmű egyenlőtlenséget kapunk:

ha a > b és c < d, akkor a – c > b - d, vagy

ha a < b és c > d, akkor a - c < b – d.

6. Az egyenlőtlenség értelme nem változik, ha mindkét oldalát egy tetszés szerinti pozitív számmal megszorozzuk vagy elosztjuk:

ha a > b és m > 0, akkor am > bm és $\frac{a}{m}$ > $\frac{b}{m}$ .

7. Az egyenlőtlenség értelme ellentétére változik, ha mindkét oldalt egy tetszőleges negatív számmal szorozzuk vagy osztjuk:

ha a > b és n < 0, akkor an < bn és $\frac{a}{n}$ < $\frac{b}{n}$ .

8. Ha az egyenlőtlenség két oldalának előjele megegyezik, a két oldal reciprokát véve az egyenlőtlenség értelme nem változik meg:

ha a > b > 0, , akkor $\frac{1}{a}$ < $\frac{1}{b}$ , valamint

ha a < b < 0, akkor $\frac{1}{a}$ > $\frac{1}{b}$ .

9. Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalán pozitív értékű mennyiség szerepel, akkor mindkét oldal tetszőleges pozitív egész kitevőjű hatványát véve, vagy mindkét oldalból tetszőleges pozitív egész gyökkitevőjű gyököt vonva, az egyenlőtlenség értelme nem változik:

a > b > 0 és n > 0 egész szám, akkor