Fogyasztáselmélet (mikroökonómia)

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A fogyasztáselmélet a mikroökonómia egyik legfontosabb területe a termeléselmélet mellett. Azt vizsgálja, hogy a racionális egyének, illetve háztartások adott jövedelem és árak mellett milyen javakat fogyasztanak, hogyan osztják meg a fogyasztásukat jelen és jövő között, továbbá mennyi időt töltenek munkával és mennyit szabadidővel.

Tartalomjegyzék

1 A fogyasztási döntés
2 A fogyasztási döntés kétjószágos modellje
3 A fogyasztási döntés általánosabb modellje

[szerkesztés] A fogyasztási döntés

Ahhoz, hogy az egyének, illetve háztartások fogyasztási döntéseit vizsgálhassa, a döntést befolyásoló tényezőket a fogyasztáselmélet két csoportba sorolja.

Az első csoportba azok a külső környezet által meghatározott tényezők tartoznak, amelyekről – itt – feltételezzük, hogy az egyén nem képes befolyásolni őket: a két legfontosabb a jövedelem és a javak ára; de ide tartoznak még az esetleges adók, támogatások, mennyiségi korlátozások is. Ezek a tényezők korlátot emelnek az egyén döntése elé.
A másik csoportot az egyén preferenciarendszere alkotja: ez a belső tényező, amely meghatározza, hogy két jószágkombináció (jószágkosár) közül az egyiket preferálja-e, azaz szívesebben fogyasztja, vagy pedig a két jószágkombináció egymással közömbös.

Hogy az egyén számára melyik(ek) a legjobb, az optimális jószágkombináció(k), a két tényezőcsoport együttesen fogja meghatározni. Egész pontosan az a jószágkombináció lesz optimális, amely a külső tényezők korlátjai mellett az egyén számára elérhetők közül a leginkább preferált. Egyszerűbben: az elérhetők közül a legjobb.

Mivel pedig a mikroökonómia feltételezi, hogy az egyének (és a háztartások) racionális döntéshozók, megállapíthatjuk: a ténylegesen választott jószágkombináció egybe fog esni az optimálissal.

[szerkesztés] A fogyasztási döntés kétjószágos modellje

Ahhoz, hogy a döntést befolyásoló tényezőket, illetve a magát a döntést matematikai eszközökkel modellezni tudjuk, több egyszerűsítést is be kell vezetnünk. A legegyszerűbb modellben feltételezzük, hogy csak két jószág van, amivel kapcsolatban döntést kell hoznunk. Ebben az esetben a jószágkombinációkat ábrázolhatjuk egy derékszögű koordináta-rendszerben, amelynek egyik tengelye az 1. jószág, másik tengelye a 2. jószág mennyiségét reprezentálja. Ezt a koordináta-rendszert – pontosabban annak első síknegyedét, hiszen mindkét jószágot csak nemnegatív mennyiségben tudjuk értelmezni – jószágtérnek is nevezzük. A jószágtér minden pontja egy-egy jószágkombinációval egyenértékű.

[szerkesztés] Külső tényezők: a költségvetési korlát

[szerkesztés] A jövedelem és az árak

A legegyszerűbb esetben, ha külső tényezőként csak a pénzben kifejezett jövedelem (m), illetve a két jószág ára (p₁ és p₂) jelenik meg, az egyén számára elérhető, vagyis megfizethető (x₁, x₂) jószágkombinációk halmazára a következő egyenlőtlenség teljesül:

$p_1x_1+p_2x_2\le m$

Költségvetési halmaz és korlát

Ezt a halmazt az egyén költségvetési halmazának nevezzük. A költségvetési halmaz ebben az esetben háromszög alakú, és a két tengely, valamint az úgynevezett költségvetési korlát (vagy költségvetési egyenes) határolja. Ez azokat a jószágkombinációkat tartalmazza, amelyek még éppen elérhetők, vagyis az egyén a teljes jövedelmét felhasználja a megvásárlásukra.

A költségvetési korlát egyenlete tehát:

$p_1x_1+p_2x_2=m\,$

Ebből az is látszik, hogy a költségvetési egyenes meredeksége $- \frac{p_1}{p_2}$ . Ennek az optimum megválasztásakor lesz jelentősége.

Ha legalább az egyik jószágból érdemes minél többet fogyasztani, logikusnak tűnik az az állítás, hogy a racionális egyén minden jövedelmét elkölti, azaz a költségvetési korláton lévő jószágkombinációk közül választ. Ezt úgy is szokás mondani, hogy az egyén fogyasztására teljesül Walras törvénye. Ha viszont mindkét jószág káros jószág, akkor a fogyasztó még mindig jobban jár, ha marad elköltetlen jövedelme, mint hogyha számára „negatív hasznossággal” járó jószágkombinációt vásárolna. Így Walras törvénye nem teljesül ebben az esetben. A továbbiakban viszont mindkét jószágról feltételezzük, hogy hasznosak.

Jövedelemcsökkenés hatása a költségvetési korlátra

A költségvetési korlát jövedelemnövekedés hatására „kijjebb”, jövedelemcsökkenés következtében „beljebb” tolódik, de meredeksége – mivel az csak az áraktól függ, a jövedelemtől nem – nem változik. Ennek megfelelően a költségvetési halmaz nagyobb, illetve kisebb lesz.

Az 1. jószág árnövekedésének hatása a költségvetési korlátra

Árváltozás esetén a költségvetési korlát egyik tengelymetszete változatlan marad, meredeksége viszont megváltozik. Az árnövekedés mindig csökkenti, míg az árcsökkenés növeli a költségvetési halmaz területét.

[szerkesztés] Adók

A kivethető adókat a fogyasztáselmélet három csoportba sorolja.

Ha egy jószágot mennyiségi adó van terhel, akkor a jószág minden egységének vásárlásakor egy meghatározott összeget kell adóként kifizetni. Speciális esetben ez az összeg változhat is a mennyiség függvényében, például előfordulhat, hogy bizonyos mennyiségig nem kell adót fizetni. Az 1. jószágra kivetett, egységesen t összegű mennyiségi adó hatására a költségvetési korlát egyenlete ilyen alakot ölt:

$(p_1+t)\cdot x_1+p_2x_2=m\,$

Úgy is mondhatjuk tehát, hogy a mennyiségi adó hatása ugyanolyan, mintha a jószág ára t pénzegységgel növekedne.

Az értékadó vagy ad valorem adó fogyasztáselméleti hatását tekintve megfeleltethető a mennyiségi adónak, csak itt a „pluszban” kifizetendő összeg a jószág árának százalékában van megadva. Ezt a százalékos arányt τ-val (tau) jelöljük. A módosult költségvetési korlát:

$(1+\tau)\cdot p_1\cdot x_1+p_2x_2=m\,$

Az egyösszegű adó egy olyan konstans érték, amit mindenképpen meg kell fizetni, függetlenül attól, hogy a jószágból mekkora mennyiséget fogyasztunk. Ezért az egyösszegű adó (T) a jövedelmünket csökkenti. Matematikai formában:

$p_1x_1+p_2x_2=m-T\,$

[szerkesztés] Támogatások

A támogatások mindegyike megfeleltethető az adófajtáknak, csak hatásuk azokéval ellentétes. A mennyiségi és az értékbeli támogatás (ismertebb nevén ártámogatás) a költségvetési korlát meredekségét változtatja meg – az árcsökkenéssel azonos módon –, míg az egyösszegű támogatás a felhasználható jövedelem növekedését eredményezi.

Az 1. jószág mennyiségének korlátozása

[szerkesztés] Mennyiségi korlátozások

Ilyesmik több okból is előfordulhatnak:

Az adott jószágból nagyon kevés áll rendelkezésre, olyannyira, hogy ha az összeset megvásároljuk, még akkor is marad jövedelmünk. Bizonyos luxuscikkek esetén gyakran előfordul ez az eset.
A hatóságok adminisztratív eszközökkel megakadályozzák, hogy az adott jószágból egy egyén vagy háztartás a megengedettnél többet vásároljon. A jegyrendszer, amit főként háborúk idején alkalmaznak, tipikus példa erre a fajta korlátozásra.

A mennyiségi korlátozás hatására a költségvetési korlát „megtörik”, a költségvetési halmaz pedig elveszti hagyományos háromszög alakját.

Fontos megjegyezni, hogy az imént tárgyalt három külső tényező – adó, támogatás és mennyiségi korlátozás – természetesen megjelenhet együttesen is. (Elképzelhető mondjuk olyan jószág, amelyre bizonyos mennyiségig támogatás jár, azután adó terheli, egy meghatározott mennyiségen túl pedig már nem is szabad belőle vásárolni.)

[szerkesztés] Belső tényezők: a preferenciák

Nem beszéltünk még a fogyasztási döntéshez szükséges belső tényezők matematikai modelljéről. A preferenciákra vonatkozó bizonyos feltételeket elfogadva megállapíthatjuk, hogy bármely két jószágkombinációt kiválasztva, megmondható, hogy azok közömbösek-e egymáshoz képest, vagy ha nem, melyik jobb a kettő közül. Kézenfekvőnek tűnik, hogy a preferenciák matematikai modellezésekor ezekhez a jószágkombinációkhoz számokat rendeljünk.

Definiáljuk az $U(x_1,x_2)\,$ kétváltozós függvényt, amely minden (x₁, x₂) jószágkombinációhoz egy számértéket rendel úgy, hogy ha az egyik jószágkosár legalább olyan jó, mint a másik, akkor a hozzá tartozó U érték is legyen nagyobb vagy azonos. $U(x_1,x_2)\,$ tehát egy kétváltozós hasznossági függvény.

Nyilvánvaló, hogy ha kiválasztunk két konkrét U értéket, U₁-et és U₂-t, csak az a fontos számunkra, hogy egyenlőek-e, illetve melyik a nagyobb, az nem, hogy pontosan mennyivel. Így ha az $U(x_1,x_2)\,$ függvény valamilyen preferenciarendezést ír le, akkor mondjuk a $2\cdot U(x_1,x_2)$ függvény is alkalmas ugyanennek a fogyasztói ízlésvilágnak a modellezésére. Általánosságban: ha f szigorúan monoton növekvő függvény, akkor fU U-val azonos preferenciákat reprezentál.

Egyértelmű, hogy az U-t, mint kétváltozós függvényt, nem tudjuk ábrázolni a jószágtérben. Néhány különböző U értékhez tartozó szintvonalát viszont megrajzolhatjuk. Ezeket a szintvonalakat közömbösségi görbéknek hívjuk, mert a rajtuk lévő jószágkombinációkhoz tartozó U érték azonos, vagyis egymáshoz képest ezek a jószágkosarak közömbösek.

A közömbösségi görbék meredekségét helyettesítési határaránynak nevezzük. (Jelölése az angol "marginal rate of substitution"-ből MRS.) Ez az arány – kicsit pontatlanul fogalmazva – azt mutatja meg, hogy mennyivel kell hogy változtassunk az 1. jószágból fogyasztott mennyiségen, ha a 2. jószágból eggyel többet kívánunk fogyasztani, de nem akarjuk, hogy változzon a hasznossági függvényünk értéke. Negatív meredekségű közömbösségi görbék esetén a helyettesítési határarány is negatív, azaz csak úgy tudunk valamelyik jószágból többet vásárolni, ha a másik jószágból lemondunk valamekkora mennyiségről.

Ha az $U(x_1,x_2)\,$ függvény x₁ szerinti parciális deriváltját (az 1. jószág határhasznát) $MU_1\,$ -gyel, x₂ szerinti parciális deriváltját (a 2. jószág határhasznát) pedig $MU_2\,$ -vel jelöljük, a helyettesítési határarányra – a differenciálszámítás szabályai szerint – az alábbi összefüggésnek kell teljesülnie:

MRS $=-\frac{MU_1}{MU_2}$

Fogyasztói optimum

[szerkesztés] Optimum

Optimális jószágkombinációnk a költségvetési halmaz azon pontjában vagy pontjaiban lesz, ahol a hasznossági függvény értéke, vagyis az U érték maximális. (A Weierstrass-tétel szerint, ha a költségvetési halmaz zárt és korlátos, a hasznossági függvény pedig folytonos, akkor biztosan létezik ilyen optimum.) Sok speciális eset fordul elő, de – mint már említettük – többnyire ez a pont a költségvetési korláton található, és annak belső pontja. Ekkor pedig ez a pont az lesz, ahol a közömbösségi görbék egyike éppen érinti a költségvetési korlátot. Ugyanis ha metszéspontban volnánk, a költségvetési korláton „befelé” elmozdulva még magasabb U értékhez tartozó jószágkombinációkat találnánk.

Az érintési pontban viszont a helyettesítési határarány (a közömbösségi görbe meredeksége) egyenlő a költségvetési korlát meredekségével:

MRS $=-\frac{p_1}{p_2}$

Amiből:

$\frac{MU_1}{MU_2} = \frac{p_1}{p_2}$

Az eredmény nemcsak matematikai, hanem közgazdasági szempontból is érthető. Nyilvánvalónak tűnik, hogy ott találunk optimumot, ahol az 1. és 2. jószág egyéni értékelése (az $\frac{MU_1}{MU_2}$ arány) egyenlő a „piac általi” értékelésével – vagyis a $\frac{p_1}{p_2}$ aránnyal.

Sőt, az egyenletet kis átrendezéssel ilyen alakra is hozhatjuk:

$\frac{MU_1}{p_1}=\frac{MU_2}{p_2}$

Ez pedig megfelel a „Gossen II. törvénye” néven ismert, híres közgazdasági összefüggésnek.

[szerkesztés] Az optimum megváltozása

Jövedelemnövekedés hatása az optimumra

[szerkesztés] Jövedelemváltozás hatására

A jövedelemváltozás a költségvetési korlát párhuzamos eltolásával (lásd fent) természetesen az optimum helyét is módosítja.

Az ábrán látható esetben a jövedelemnövekedés hatására mindkét jószágból nőtt az optimális mennyiség. Ez azonban nem minden esetben van így; előfordulhat, hogy az egyik jószág esetében a fogyasztott mennyiség csökkenni fog. Azt a jószágot, amelynek a fogyasztása a jövedelem emelkedésekor növekszik, normál jószágnak, azt pedig, amelynek a mennyisége ilyen esetben csökken, inferior jószágnak nevezzük.

A jövedelemnövekedéssel pontosan ellentétes következményekkel jár a jövedelemcsökkenés.

Ha a különböző jövedelemszintek melletti optimális jószágkombinációkat összekötjük egymással, a két jószág úgynevezett jövedelem-fogyasztási vagy jövedelem-ajánlati görbéjét kapjuk eredményül.

Árnövekedés helyettesítési hatása

Árnövekedés jövedelmi hatása

[szerkesztés] Árváltozás hatására

A jövedelemváltozáshoz hasonlóan itt is csak az egyik esetet, mégpedig az 1. jószág árnövekedését vesszük szemügyre, a másik három – az 1. jószág árcsökkenése, továbbá a 2. jószág áremelkedése és -csökkenése – hasonló változásokat eredményez.

Látnunk kell, hogy p₁ növekedése valójában kétféleképpen is hat a fogyasztásra:

Megnő a $-\frac{p_1}{p_2}$ hányados, vagyis a költségvetési korlát meredeksége. Ennek a fogyasztásra gyakorolt hatását helyettesítési hatásnak nevezzük.
Látszólag a jövedelmünk nem változik, valójában viszont a vásárlóereje csökken, hiszen kevesebb 1. jószágot vásárolhatunk belőle, mint korábban. Ennek következménye az úgynevezett jövedelmi hatás.

A helyettesítési és a jövedelmi hatás összege eredményezi az árváltozás teljes hatását a fogyasztásra. Ezt az összefüggést írja le a Slutsky-egyenlet.

Ha a különböző árszintek melletti optimális jószágkombinációkat kötjük össze egymással, a két jószág ár-fogyasztási vagy ár-ajánlati görbéjét kapjuk meg; ha pedig egyetlen jószág optimális mennyiségét rendeljük a különböző árakhoz, az eredmény a jószág keresleti görbéje vagy keresleti függvénye lesz.

Mikroökonómiai összefüggések segítségével levezethető, hogy árnövekedés esetén a helyettesítési hatás előjele mindig negatív (vagyis az optimális mennyiség csökkenését eredményezi), a jövedelmi hatás viszont lehet negatív és pozitív is, attól függően, hogy normál vagy inferior jószág árnövekedését vizsgáljuk. Így a teljes hatás előjele sem mondható meg egyértelműen; biztosan csak annyit tudunk, hogy normál jószág esetén mindkét hatás negatív, ezért a teljes hatás is az, vagyis normál jószág árnövekedése minden esetben a belőle fogyasztott mennyiség csökkenését eredményezi. Ez a kereslet törvénye.

Fogyasztási döntés indulókészlet mellett

[szerkesztés] Fogyasztási döntés indulókészlet mellett

Az eddigiekben feltettük, hogy a fogyasztási döntés előtt álló egyén rendelkezik valamilyen kiinduló jövedelemmel (m), amit javak vásárlására költhet. Megtörténhet azonban az is, hogy a fogyasztónak nincs jövedelme, hanem a javakból van valamilyen indulókészlete, amit aztán addig cserélgethet a környezetével, amíg el nem éri a számára optimális jószágkombinációt.

Kétjószágos modellben a fogyasztó indulókészletét így jelölhetjük: $(\omega _1;\omega _2)\,$ , ahol ω₁ (ómega) az 1. jószág, ω₂ a 2. jószág kiinduló mennyiségét jelenti.

A költségvetési korlát egyenlete ekkor ilyen lesz:

$p_1 x_1 + p_2 x_2 = p_1 \omega _1 + p_2 \omega _2\,$

Ekkor az x₁ és x₂ mennyiségeket az 1., illetve a 2. jószág bruttó keresletének nevezzük. Ezzel szemben $x_1 - \omega _1\,$ és $x_2 - \omega _2\,$ (vagyis a keresett mennyiségeknek a kiinduló mennyiségektől vett eltérése) az 1., illetve a 2. jószág nettó kereslete. (Ha $x_1 - \omega _1\,$ vagy $x_2 - \omega _2\,$ negatív, akkor nettó kínálatról is beszélhetünk.)

A költségvetési korlát egyenletét átrendezve kapjuk, hogy

$p_1 \cdot (x_1 - \omega _1) + p_2 \cdot (x_2 - \omega _2) = 0.$

Vagyis a nettó keresleteknek a két jószág árával súlyozott összege 0-val egyenlő. Ez a gyakorlatban azt jelenti, hogy ha a fogyasztó az egyik jószágból a kiinduló mennyiségénél többet akar birtokolni (azaz az egyik jószág nettó vevője szeretne lenni), akkor a másikból mindenképpen el kell adnia valamennyit (tehát a másik jószág nettó eladója kell hogy legyen).

Az optimum megkeresése, valamint a jövedelemváltozás indulókészlet mellett is hasonlóan történik, mint feljebb, csak a jövedelem (m) helyére mindig az indulókészlet értékét ( $p_1 \omega _1 + p_2 \omega _2\,$ ) kell helyettesítenünk. Az árváltozásnál azonban fellép egy harmadik hatás is a helyettesítési és a jövedelmi hatás mellett: az úgynevezett készletjövedelmi hatás. Ez abból ered, hogy árváltozás esetén az indulókészlet értéke – és nemcsak a vásárlóereje – is meg fog változni, ami végső soron a költségvetési korlát és így az optimum eltolódását eredményezi.

Az indulókészletes modell egyik legfontosabb alkalmazása a munkakínálat alapmodellje a munkagazdaságtanban.

Az intertemporális választás legegyszerűbb modellje

[szerkesztés] Az intertemporális választás

A fogyasztással kapcsolatos döntéseket mindezidáig egy időpontban vizsgáltuk. A valóságban azonban senki sincs arra kötelezve, hogy minden jövedelmét azonnal elköltse; megteheti, hogy eltartalékolja, megtakarítja azt abból a célból, hogy ne a jelenben, hanem a jövőben „cserélje” fogyasztásra. Hasonlóképpen sokféle lehetőség kínálkozik arra, hogy a jelenbeli fogyasztás növelése érdekében kölcsönt vagy hitelt vegyünk fel, amit aztán a jövőbeli jövedelmünkből kell visszafizetnünk. Lehetőségünk van tehát arra, hogy – a jelen- és jövőbeli jövedelmeink által állított korlát figyelembevételével – válasszunk a jelen- és a jövőbeli fogyasztások között. Ezt hívjuk intertemporális választásnak.

Tovább bonyolítja a helyzetet, hogy sem a hitel, sem a megtakarítás nem ingyenes. Ha megtakarítunk valamekkora pénzösszeget, azért a jövőben megkapjuk annak valahány százalékát, az úgynevezett betéti kamatot (a betéti kamatláb jele r_b). Ha hitelt veszünk fel, a jövőben a hitel összege mellett a hitelkamatot (a hitelkamatláb jele r_h) is vissza kell fizetnünk.

A továbbiakban feltételezzük, hogy a megtakarítások és a hitelek piacán is kialakult az egyensúlyi ár, vagyis bármely bankhoz, befektetési vállalathoz stb. fordulunk, mindenhol ugyanazzal a betéti, illetve hitelkamatlábbal szembesülünk.

Az intertemporális választás legegyszerűbb mikroökonómiai modelljében két időpont – vagy időszak –: a jelen és a jövő, és ennek megfelelően két összetett jószág: a jelenbeli fogyasztás (C₁) és a jövőbeli fogyasztás (C₂) szerepel; továbbá az egyszerűség kedvéért feltesszük, hogy $r_b = r_h = r\,$ , illetve hogy nincsen infláció. Az indulókészlet $(M_1;M_2)\,$ , ahol M₁ a jelenbeli, M₂ pedig a jövőbeli jövedelem.

A költségvetési korlát egyenlete ebben az esetben kétféleképpen írható fel. Így:

$C_1 + \frac{C_2}{1+r} = M_1 + \frac{M_2}{1+r}$

Vagy pedig így:

$(1+r) \cdot C_1 + C_2 = (1+r) \cdot M_1 + M_2$

Az elsőt a költségvetési korlát jelenértékes, a másodikat pedig a jövőértékes egyenletének nevezzük. Látható, hogy az egyik egyenlet a másiknak $1+r\,$ -szerese, tehát matematikai értelemben nem, csak szemléletükben különböznek egymástól.

Bármelyik egyenletről leolvasható, hogy az intertemporális költségvetési korlát meredeksége $-(1+r)\,$ .

Hasonlóan az eddigiekhez, itt is léteznie kell egy $U(C_1,C_2)\,$ hasznossági függvénynek, amely a jelen- és jövőbeli fogyasztásból álló kombinációkhoz rendel egy-egy számot az intertemporális döntéshozó preferenciáinak megfelelően. Optimális döntés esetén

$\frac{MU_{C_1}}{MU_{C_2}} = 1+r.$

Ha az optimum balra esik az indulókészlettől, akkor az intertemporális döntéshozó kölcsönnyújtó (mivel az első időszakban kevesebbet fogyaszt, mint a jövedelme), ha viszont jobbra, akkor kölcsönvevő.

[szerkesztés] A fogyasztási döntés általánosabb modellje

Az általánosabb modellben feltesszük, hogy nem kettő, hanem n darab jószág van, amelyek optimális mennyiségéről a fogyasztónak döntést kell hoznia. A választható jószágkosarak ekkor az n dimenziós térben, $\mathbb{R}^n$ -ben található, nemnegatív koordinátájú vektorokként foghatók fel: $\mathbf{x} = (x_1,x_2,...,x_n)$ , ahol x₁ értelemszerűen az első, x₂ a második jószágból fogyasztott mennyiséget reprezentálja, és így tovább. Hasonlóképpen vektorba rendezhetők a javak árai: $\mathbf{p} = (p_1,p_2,...,p_n)$ . Az árakat és a jövedelmet (m) természetesen továbbra is külső adottságnak tekintjük, amelyeket a fogyasztó nem képes befolyásolni.

Tegyük fel még, hogy nincsenek adók, támogatások és mennyiségi korlátozások, valamint hogy teljesül Walras törvénye, azaz a fogyasztó minden jövedelmét elkölti (utóbbi már nagyon gyenge megszorítások mellett is fennáll). Ekkor a fogyasztó költségvetési korlátja a következőképpen írható fel:

$p_1 x_1 + p_2 x_2 + ... + p_n x_n = m\,$

Vagy, a skaláris szorzat definíciójának felhasználásával:

$\mathbf{p} \cdot \mathbf{x} = m$

A költségvetési korlátot leíró egyenletből látható, hogy a korlát azon jószágmennyiség-vektorokból áll, amelyeknek az árvektorral vett skalárszorzata éppen m, vagyis olyan n−1 dimenziós hipersíkot alkot $\mathbb{R}^n$ -ben, amelynek a normálvektora $\mathbf{p}$ .

[szerkesztés] A haszonmaximalizálási feladat és megoldása

A fogyasztó haszonmaximalizálási feladata a következő feltételes szélsőérték-feladat lesz:

$\begin{matrix} \max U(\mathbf{x}) \\ \mathbf{p} \cdot \mathbf{x} = m \\ \mathbf{x} \ge \mathbf{0} \end{matrix}$

Elsőként tegyük fel, hogy egy, az utolsónál szigorúbb feltétel is teljesül: $\mathbf{x} >> \mathbf{0}$ , vagyis úgynevezett belső megoldással állunk szemben. Ekkor a feladat $\mathbf{x^*}$ megoldását – feltéve, hogy U differenciálható függvény – a Lagrange-féle szélsőérték-számítás szerint a következő egyenletrendszer gyökei fogják szolgáltatni ( $MU_i\,$ továbbra is a hasznossági függvény i-edik változója szerinti parciális deriváltját jelöli):

$\begin{matrix} MU_1(\mathbf{x^*}) - \lambda p_1 = 0 \\ MU_2(\mathbf{x^*}) - \lambda p_2 = 0 \\ \vdots \\ MU_n(\mathbf{x^*}) - \lambda p_n = 0 \end{matrix}$

Vagy ugyanez vektoregyenlet alakban:

$\nabla U(\mathbf{x^*}) - \lambda \mathbf{p} = \mathbf{0}$ ,

ahol $\nabla U(\mathbf{x})$ a hasznossági függvény gradiense (a függvény parciális deriváltjaiból álló vektor). Átrendezve:

$\nabla U(\mathbf{x^*}) = \lambda \mathbf{p}$ ,

vagyis ott találunk optimumot, ahol a hasznossági függvény gradiensvektora párhuzamos a költségvetési korlát normálvektorával. Ez az állítás a kétjószágos modellben megismert érintési feltétel általánosításának tekinthető.

Az előbbi feltétel szükséges, de nem elégséges a belső optimum létezéséhez. Vannak bizonyos másodrendű feltételek is, amelyek a hasznossági függvény kvázikonkavitásával kapcsolatosak. Az elsőrendű feltételt kielégítő $\mathbf{x^*}$ megoldásvektor pontosan akkor lokális maximumhely, ha a hasznossági függvény $\mathbf{x^*}$ -ban kvázikonkáv. Ha pedig U értelmezési tartományának egészén kvázikonkáv, akkor az elsőrendű feltételt kielégítő $\mathbf{x^*}$ globálisan is maximumhely, vagyis a haszonmaximalizálási feladat megoldása.

Ha a fenti egyenletek mindegyikéből kifejezzük $\lambda \,$ -t, ezúttal is Gossen II. törvényét kapjuk:

$\lambda = \frac{MU_1(\mathbf{x^*})}{p_1} = \frac{MU_2(\mathbf{x^*})}{p_2} = ... = \frac{MU_n(\mathbf{x^*})}{p_n}$

Ha a haszonmaximalizálási feladat $\mathbf{x^*}$ megoldása nem belső megoldás, vagyis van legalább egy olyan jószág, amiből a fogyasztó semennyit sem fogyaszt az optimumban (ez valószerű feltevés), akkor az egyenletrendszer a Kuhn–Tucker-féle korlátozó feltételeknek megfelelően következőképpen módosul:

$\nabla U(\mathbf{x^*}) - \lambda \mathbf{p} \le \mathbf{0}$ ,

és azokra a javakra, amelyekre $x_i^* > 0$ , tehát amelyekből az optimális fogyasztás pozitív,

$MU_i(\mathbf{x^*}) - \lambda p_i = 0$ .

[szerkesztés] A megoldás létezése és egyértelműsége

Ha a javak árai kivétel nélkül pozitívak, azaz $\mathbf{p} >> \mathbf{0}$ , továbbá a jövedelem nemnegatív, akkor a fogyasztó által választható (tehát nemnegatív és a költségvetési korlátot kielégítő) jószágkosarak halmaza, amit korábban költségvetési halmaznak neveztünk, nemüres, zárt és korlátos. Ekkor a hasznossági függvény folytonossága esetén a Weierstrass-tétel biztosítja, hogy a haszonmaximalizálási feladatnak minden, a feltételnek megfelelő árvektor és jövedelem mellett létezik megoldása.

Definiálható tehát egy leképezés, amely valamely árvektor–jövedelem kombinációhoz az ezek mellett optimális jószágkosarak halmazát rendeli. Ezt a leképezést keresleti leképezésnek nevezhetjük és a következőképpen jelöljük: $\mathbf{x}(\mathbf{p},m)$ .

Ha a megoldás létezését biztosító feltételeken kívül teljesül még, hogy a fogyasztó preferenciái konvexek (vagy, ami ezzel egyenértékű: a hasznossági függvény kvázikonkáv), akkor az $\mathbf{x}(\mathbf{p},m)$ halmaz minden $(\mathbf{p},m)$ -re konvex. Ha pedig a preferenciák szigorúan konvexek (a hasznossági függvény szigorúan kvázikonkáv), akkor az $\mathbf{x}(\mathbf{p},m)$ halmaz minden árvektor–jövedelem kombinációra egyelemű, vagyis a leképezés egyértelmű: $\mathbf{x}(\mathbf{p},m)$ egy $\mathbb{R}^{n+1}$ -ből $\mathbb{R}^n$ -be képező függvény, amit keresleti függvénynek nevezhetünk (ráadásul belátható, hogy ez a függvény folytonos). A továbbiakban minden esetben feltételezzük, hogy fennállnak a keresleti függvény létezéséhez szükséges feltételek.

[szerkesztés] A keresleti függvény tulajdonságai

Igazolható, hogy a haszonmaximalizálási feladat megoldásaként adódó keresleti függvény minden esetben teljesíti az alábbi tulajdonságokat:

$\mathbf{p} \cdot \mathbf{x}(\mathbf{p},m) = m$ , a Walras-törvény következtében.
Minden pozitív t valós számra $\mathbf{x}(t\mathbf{p},tm) = \mathbf{x}(\mathbf{p},m)$ , vagyis a keresleti függvény nulladfokon homogén.
Jelölje a keresleti függvény i-edik koordinátafüggvényét (vagyis az i-edik jószág keresletét az árak és a jövedelem függvényében) $x_i(\mathbf{p},m)$ . Ekkor az $s_{i,j} = \frac{\partial x_i(\mathbf{p},m)}{\partial p_j} + \frac{\partial x_i(\mathbf{p},m)}{\partial m} \cdot x_j(\mathbf{p},m)$ elemekből álló n×n-es mátrix, az úgynevezett helyettesítési mátrix vagy Slutsky-mátrix szimmetrikus és negatív szemidefinit.

Az eddig leírtaknál erősebb állítás is megfogalmazható: ha egy $\mathbf{x}(\mathbf{p},m)$ függvényre teljesül a fenti három tulajdonság, akkor létezik olyan preferenciarendszer (hasznossági függvény), amelynek $\mathbf{x}(\mathbf{p},m)$ a keresleti függvénye.

[szerkesztés] Az indirekt hasznossági függvény

Az indirekt hasznossági függvény a haszonmaximalizálási feladat értékfüggvénye, vagyis minden árvektor–jövedelem kombinációhoz az ezek mellett optimális jószágkombináció hasznosságát rendeli:

$v(\mathbf{p},m) = U(\mathbf{x}(\mathbf{p},m))$

Az indirekt hasznossági függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

Nulladfokon homogén: minden pozitív valós t-re $v(t\mathbf{p},tm) = v(\mathbf{p},m)$ .
Nemnövekvő az árakban: $\mathbf{p'} \ge \mathbf{p}$ esetén $v(\mathbf{p'},m) \le v(\mathbf{p},m)$ .
Szigorúan növekvő a jövedelemben: ha $m'>m\,$ , akkor $v(\mathbf{p},m') > v(\mathbf{p},m)$ .
Kvázikonvex.
Folytonos.

A Roy-azonosság az indirekt hasznossági függvény definíciójával ellentétes irányú kapcsolatot teremt az indirekt hasznossági függvény és a keresleti függvény között. Kimondja, hogy $v(\mathbf{p},m)$ differenciálhatósága esetén minden i-re