Mátrix (matematika)

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A mátrix a matematikában számok téglalap alakú elrendezése (táblázata), pontosabban olyan absztrakt mennyiségek táblázata, melyeket összeadni és szorozni lehet. Mátrixokat szoktak használni lineáris egyenletek leírására, lineáris transzformációk együtthatóinak és olyan adatok tárolására, melyek két paramétertől függenek. A mátrixokat összeadni, szorozni és felbontani lehet különböző módokon, így a lineáris algebra és a mátrix elmélet központi fogalmát alkotják.

[szerkesztés] Definíciók és jelölések

A mátrix vízszintes vonalban elhelyezkedő elemei sorokat, függőleges vonalban elhelyezkedő elemei oszlopokat alkotnak. Egy m sorból és n oszlopból álló mátrixot m-szer n mátrixnak nevezik (írva: m×n), az m és n a mátrix dimenziói. A mátrix dimenzióit mindig először a sorok számával majd azt követően az oszlopok számával adják meg. Az A mátrix jelölése:

$A= \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}& &a_{2n}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&\dots&a_{3n}\\ \vdots& &\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\dots&a_{nn} \end{bmatrix} vagy \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}& &a_{2n}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&\dots&a_{3n}\\ \vdots& &\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\dots&a_{nn} \end{pmatrix}$

A mátrixnak az i-ik sorban és j-ik oszlopban lévő elemét a mátrix i,j-edik elemének nevezik, jelölése A_i,j vagy A[i,j]. Mindig először a sorszám, majd az oszlopszám szerepel.

Az m × n méretű mátrixot gyakran így jelölik: $A:=(a_{i,j})_{m \times n}$ , a mátrix minden A[i,j] elemét a_i,j-vel jelölik, ahol 1 ≤ i ≤ m és 1 ≤ j ≤ n. Konvenció, hogy a mátrixokat nagybetűvel, a mátrix elemeit pedig kisbetűvel jelölik. Szokás szerint a mátrix sorainak és oszlopainak számozása 1-el kezdődik, vannak számítógépes programok, melyek 0-val kezdenek. Azokat a mátrixokat, melyek egyik dimenziója 1, vektornak szokták nevezni. A sorvektornak csak egy sora van:

$\begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n} \end{bmatrix}$ ,

az oszlopvektornak pedig egyetlen oszlopa:

$\begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ . \\ . \\ . \\ a_{m} \end{bmatrix}$

[szerkesztés] Példa

Az A mátrix

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 7 \\ 4&9&2 \\ 6&0&5\end{bmatrix}$

egy 4×3-as mátrix. Az A[2,3] vagy a_2,3 elem 7.

Az R mátrix

$R = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$

egy 1×9-es mátrix, vagy 9-elemű sorvektor.

[szerkesztés] Műveletek mátrixokkal

[szerkesztés] Összeadás

Legyen A és B két m-szer n méretű mátrix, A + B összegük úgy képződik, hogy a megfelelő elemeket összegezzük (vagyis (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Például:

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0 & 3+0 & 2+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \\ 1+2 & 2+1 & 2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 7 \\ 8 & 5 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$

[szerkesztés] Skalárral való szorzás

Adott az A mátrix egy c skalárral való cA szorzatát úgy számítjuk, hogy a c számmal A minden elemét megszorozzuk (vagyis (cA)[i, j] = cA[i, j] ). Például:

$2 \begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\cdot 1 & 2\cdot 8 & 2\cdot (-3) \\ 2\cdot 4 & 2\cdot (-2) & 2\cdot 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 10 \end{bmatrix}$

[szerkesztés] Mátrixszorzás

Két mátrix szorzata akkor definiált, ha az baloldali mátrix oszlopainak száma megegyezik a jobboldali mátrix sorainak számával. Ha A egy m-szer n mátrix és B egy n-szer p mátrix, mátrixszorzatuk egy m-szer p méretű (m sorból, p oszlopból álló)AB mátrix lesz, melynek elemei így számíthatók:

$(AB)[i,j] = A[i,1] B[1,j] + A[i,2] B[2,j] + ... + A[i,n] B[n,j] \!\$

minden i-re és j-re.

Például:

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0) \\ ((-1) \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1) & ((-1) \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix},$

illetve a megfelelő sort a megfelelő oszloppal történő szorzást kidomborítandó:

$\begin{matrix} & \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\\\\ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix} \end{matrix},$

ahol például az eredménymátrix 5-ös elemét úgy kaptuk, hogy a sorában lévő (1,0,2) elemeket páronként összeszoroztuk az oszlopában lévő (3,2,1) elemekkel, majd összeadtuk őket.

A mátrixszorzatnak a következő tulajdonságai vannak:

(AB)C = A(BC) minden k-szor m méretű A mátrixra, m-szer n méretű B mátrixra és n-szer p méretű C mátrixra ("asszociativitás").
(A + B)C = AC + BC minden m-szer n méretű A és B mátrixra valamint n-szer k méretű C mátrixra ("jobboldali disztributivitás").
C(A + B) = CA + CB minden m-szer n méretű A és B valamint k-szor m méretű C mátrixra ("baloldali disztributivitás").

Fontos tudni, hogy a kommutativitás általában nem teljesül; vagyis adott A és B összeszorozható mátrixra általában igaz, hogy AB ≠ BA.

[szerkesztés] Mátrix rangja

Az A n×k-as mátrix rangja a mátrix lineárisan független oszlopainak maximális száma. Igazolható, hogy ez egy jól definiált természetes szám és megegyezik a mátrix lineárisan független sorainak maximális számával (a sorrang tehát egyenlő az oszlopranggal). Másként úgy is fogalmazhatunk, hogy a rang a mátrix oszlopvektorai által kifeszített altér dimenziója a T^k vektor térben (T az a test, ahonnan a mátrix elemeit vesszük). Tehát a rang:

$r(A):=\mathrm{dim}\,\left\langle\{a_1, ..., a_{k}\}\right\rangle$

ahol a₁,...,a_k az A mátrix oszlopai, mint vektorok.

[szerkesztés] Négyzetes mátrix

A négyzetes mátrix olyan mátrix, melyben a sorok és oszlopok száma megegyezik. Egy adott test feletti összes n-szer n-es négyzetes mátrix a skalárral való szorzással, mátrixösszeadással és mátrixszorzással algebrát alkot. Az n > 1 esetben az algebra általában nem kommutatív.

A mátrix főátlója az $a i, i$ alakú elemeket tartalmazza, tehát azokat, amelyek ugyanannyiadik sorban vannak, mint oszlopban.

Diagonálmátrix olyan négyzetes mátrix, melynek csak főátlójában vannak 0-tól eltérő elemek. Például egy harmadrandű (n=3) diagonál mátrix:

$\begin{bmatrix} 15 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 23 \end{bmatrix}$

Az I_n egységmátrix olyan négyzetes mátrix, melynek elemei a főátlóban egységnyiek, összes többi eleme 0, azaz olyan diagonálmátrix, melynek főátlóbeli elemei egységnyiek. Az egységmátrix kelégíti az alábbi egyenlőségeket: MI_n=M és I_nN=N minden m-szer n Mmátrixra és n-szer k N mátrixra. Például, ha n = 3:

$I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Az egységmátrix a négyzetes mátrixok gyűrűjének egységnyi eleme.

A gyűrű invertálható elemeit invertálható mátrixnak vagy nem-szinguláris mátrixnak hívják. Egy n-szer n-es A mátrix akkor és csakis akkor invertálható, ha létezik egy olyan B mátrix, melyre igaz: AB = I_n ( = BA). Ebben az esetben a B mátrix az A mátrix inverz mátrixa és A⁻¹-al jelölik.

Ha λ egy szám és v egy nemzéró vektor, melyre igaz az, hogy Av = λv, akkor v-t az A mátrix sajátvektorának, λ-t pedig a hozzá tartozó sajátértékének nevezik.

Az A négyzetes mátrix determinánsa

$\det(A)=\sum_{\pi}(-1)^{|\pi|}a_{1,\pi(1)}\cdots a_{n,\pi(n)}$

képlettel adható meg, ahol a $\pi:\{1,2,\dots,n\}\to\{1,2,\dots,n\}$ permutációkra kell összegezni és $| π |$ a $π$ permutáció inverzióinak számát jelöli: azon $(i, j)$ párokét, amikre $i < j$ de $π(i) > π(j)$ .

Invertálható mátrixok determinánsa zérótól különbözik.

Az A négyzetes mátrix karakterisztikus polinomja a $p A (λ) = det(A - λ I$ polinom. Ez n-szer n-es A esetén n-edfokú, főegyütthatója $( - 1) n$ , konstans tagja pedig A determinánsa. A Cayley–Hamilton-tétel szerint az A mátrix gyöke a $p A (λ)$ polinomnak. A λ szám akkor és csakis akkor sajátértéke A mátrixnak, ha A−λI_n nem invertálható, azaz, ha p_A(λ) = 0. Így p_A(x) gyökei pontosan A sajátértékei.

A Gauss-elimináció algoritmusának alapvető fontosága van: ezt lehet használni mátrixok determinánsának, rangjának és inverzének számítására, valamint lineáris egyenletrendszerek megoldására.

Egy négyzetes mátrix nyoma a főátlójában lévő elemek összege, ez mindig egyenlő az n sajátértékének összegével.

[szerkesztés] Speciális mátrixok

Nullmátrix olyan mátrix, melynek minden eleme 0.
Egységmátrix négyzetes mátrix, melynek főátlójában minden elem 1, a többi 0.
Diagonális mátrix négyzetes mátrix, melynek csak a főátlójában vannak 0-tól eltérő elemek.
Szimmetrikus mátrix a főátlóra nézve szimmetrikus mátrix: a_i,j=a_j,i.
Ferdeszimmetrikus mátrix a főűtlóra nézve szimmetrikus elemek egyenlőek, de ellenkező előjelűek: a_i,j= - a_j,i.
Háromszögmátrix
Hermitikus mátrix a főátlóra nézve szimmetrikus elemek egymás komplex konjugáltjai: a_i,j=a*_j,i, ahol a '*' komplex konjugáltat jelöl.
Permutáló mátrix
Adjungált (mátrixinvertálás)