Háló (matematika)

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

4-elemű halmaz osztályozásaiból képezett háló Hasse diagramja.

A matematikában a hálónak két egymással ekvivalens definíciója létezik, az egyik részbenrendezett halmazok segítségével definiálja a háló fogalmát, a másik pedig algebrai struktúra segítségével. A részbenrendezett halmazok küzül azokat nevezzük hálónak, amelyekre bármely kételemű részhalmazára teljesül, hogy az adott kételemű halmaznak van szuprémuma és infimuma. Ha egy részbenrendezett halmaz bármely részhalmazára (tehát nem csak a kételeműekre) teljesül az, hogy létezik szuprémuma és infimuma, akkor teljes hálóról beszélünk. Az algebrai struktúrák felől megközelítve a háló fogalmát azt mondhatjuk, hogy a hálók olyan struktúrák, amelyekben definiálva van két kétváltozós kommutatív, asszociatív művelet, amelyek eleget tesznek az ún. elnyelési azonosságoknak is.

Tartalomjegyzék

1 Definíció
- 1.1 Definíció részbenrendezett halmazok használatával
- 1.2 Definíció algebrai struktúrák használatával [1]
2 Példák
3 Tulajdonságok
4 Lásd még
5 Jegyzetek
6 Hivatkozások
7 Külső hivatkozások

[szerkesztés] Definíció

A háló alábbi két definíciója ekvivalens:

[szerkesztés] Definíció részbenrendezett halmazok használatával

Az $(A;)$ részbenrendezett halmazt hálónak nevezzük, ha $A$ bármely kételemű részhalmazának létezik legkisebb felső korlátja és legnagyobb alsó korlátja.

Az $(A;)$ részbenrendezett halmazt teljes hálónak nevezzük, ha $A$ bármely részhalmazának létezik legkisebb felső korlátja és legnagyobb alsó korlátja.

[szerkesztés] Definíció algebrai struktúrák használatával ^[1]

Az $(A; \cup , \cap )$ kétműveletes algebrai struktúrát hálónak nevezzük, ha $\cup$ , $\cap$ kétváltozós műveletek $A$ -n, amelyekre tetszőleges $a, b, c \in A$ elemekre teljesülnek a következők:

$a \cup b=b \cup a$ , $a \cap b=b \cap a$ (kommutativitás),

$(a \cup b) \cup c=a \cup (b \cup c)$ , $(a \cap b) \cap c=a \cap (b \cap c)$ (asszociativitás),

$a \cap (a \cup b)=a$ , $a \cup (a \cap b)=a$ (elnyelési azonosságok).

Az $\cup$ műveletet egyesítésnek, a $\cap$ műveletet pedig metszetnek hívjuk.

[szerkesztés] Példák

csoport részcsoportjai a halmazelméleti tartalmazásra, mint részbenrendezésre nézve hálót alkotnak
gyűrű részgyűrűi a halmazelméleti tartalmazásra, mint részbenrendezésre nézve hálót alkotnak
vektortér alterei a halmazelméleti tartalmazásra, mint részbenrendezésre nézve hálót alkotnak

[szerkesztés] Tulajdonságok

A hálóaxiómákból következik, hogy a háló mindkét művelete idempotens^[1], azaz

$a \cup a=a$ ,

$a \cap a=a$ .

[szerkesztés] Lásd még

Disztributív háló
Moduláris háló

[szerkesztés] Jegyzetek

^ ^1,0 ^1,1 R. Dedekind: Über Zerlegungen von zahlen durch ihre grössten gemeinsamen Teiler, Gesammelte Werke, 2. kötet 109.o.

[szerkesztés] Hivatkozások

Szász Gábor: Bevezetés a hálóelméletbe, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1959
Czédli Gábor: Boole-függvények, Polygon, Szeged, 1995

[szerkesztés] Külső hivatkozások

Háló definíciója a PlanetMath oldalán

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../h/%C3%A1/l/H%C3%A1l%C3%B3_%28matematika%29.html"

Kategória: Absztrakt algebra

Háló (matematika)

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Definíció

[szerkesztés] Definíció részbenrendezett halmazok használatával

[szerkesztés] Definíció algebrai struktúrák használatával ^[1]

[szerkesztés] Példák

[szerkesztés] Tulajdonságok

[szerkesztés] Lásd még

[szerkesztés] Jegyzetek

[szerkesztés] Hivatkozások

[szerkesztés] Külső hivatkozások

Views

Navigáció

Keresés

Más nyelveken

Háló (matematika)

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Definíció

[szerkesztés] Definíció részbenrendezett halmazok használatával

[szerkesztés] Definíció algebrai struktúrák használatával [1]

[szerkesztés] Példák

[szerkesztés] Tulajdonságok

[szerkesztés] Lásd még

[szerkesztés] Jegyzetek

[szerkesztés] Hivatkozások

[szerkesztés] Külső hivatkozások

Views

Navigáció

Keresés

Más nyelveken

[szerkesztés] Definíció algebrai struktúrák használatával ^[1]