Test (algebra)

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Az algebrában test egy olyan F = (T, + , *) kétműveletes algebrai struktúrát jelöl, ahol T kommutatív csoportot alkot a + ("összeadás") műveletre nézve, a * ("szorzás") asszociatív, minden nem nulla elemnek van inverze a * műveletre nézve, továbbá a * művelet disztributív a + műveletre.

A test iménti definíciójában tehát nem követeltük meg, hogy * kommutatív művelet legyen. Ezzel kapcsolatban kívánkozik néhány terminológiai megjegyzés:

Ha hangsúlyozni akarjuk, hogy * nem kommutatív (azaz van a és b elem T-ben, hogy a*b≠b*a ) akkor ferdetestről beszélünk.
Ha *-ra teljesül a kommutatív tulajdonság, akkor a kommutatív vagy Wedderburn-test kifejezést használjuk.
Sokszor test alatt kommutatív testet értenek.
Szokás néha a fent definiált kétműveletes struktúrát nevezni ferdetestnek. (Tehát ahol a kommutativitás nincs megkövetelve.) Ha a kommutatív tulajdonságot is felteszik, akkor kommutatív testről beszélnek. Ekkor például a valós számok köre olyan ferdetest, mely egyben kommutatív test is, míg a kvaterniók nem alkotnak kommutatív testet. Ebben az esetben a minden jelző nélküli "test" kifejezést nem használják.

E cikkben testen kommutatív szorzásműveletű testet értjük, nem-kommutatív testre a ferdetest megnevezést alkalmazzuk. (A továbbiakban tehát a valós számok testet alkotnak, de nem ferdetestet, míg a kvaterniók nem alkotnak testet, csak ferdetestet.)

Tartalomjegyzék

1 Példák
- 1.1 Test
- 1.2 Ferdetest
2 A testaxiómák és egyszerű következményeik
3 Fontosabb azonosságok testekben
4 Karakterisztika
5 Résztest, testbővítés
6 Prímtest
7 Véges testek

[szerkesztés] Példák

[szerkesztés] Test

a racionális, a valós és a komplex számok ( $\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$ )
a prímek maradékosztályai ( $\mathbb{F}_p$ : $\mathbb{Z}_p$ csoport kibővítve a szorzás művelettel)
az algebrai számok ( $\overline\mathbb{Q}$ )
a racionális törtfüggvények

$\mathbb{R}(x) = \biggl\{\frac{p(x)}{q(x)}\,\biggl|\,p(x), q(x) \in \mathbb{R}[x], \ q(x)\not \equiv 0\biggl\}$

a racionális számok kibővítve $\sqrt{t}$ -vel

$\big\{a+b\sqrt{t}\,\big|\, a, b \in \mathbb{Q}, \ t \in \mathbb{Q}^{+}\big\}$

[szerkesztés] Ferdetest

a kvaterniók

$\{a+bi+cj+dk\,|\, a, b, c, d \in \mathbb{Q}\}$

[szerkesztés] A testaxiómák és egyszerű következményeik

A testaxiómák részletezve:

A + és * művelet is asszociatív: minden a, b, c ∈ F-re: a + (b + c) = (a + b) + c és a * (b * c) = (a * b) * c.

A + és * művelet is kommutatív: minden a, b ∈ F-re: a + b = b + a and a * b = b * a.

A * művelet disztributív a + műveletre nézve: minden a, b, c ∈ F-re: a * (b + c) = (a * b) + (a * c).

Létezik nullelem (additív neutrális elem), azaz olyan 0 ∈ F, hogy minden a ∈ F -re, a + 0 = a.

Létezik egységelem (multiplikatív neutrális elem), azaz olyan 1 ∈ F, melyre 1 ≠ 0, és minden a ∈ F-re a * 1 = a.

Léteznek additív inverz elemek vagy ellentett elemek: Minden a ∈ F-re olyan -a ∈ F, hogy a + (-a) = 0.

Léteznek multiplikatív inverz elemek vagy reciprokok: Minden a ≠ 0 -hoz F-ben létezik olyan a^-1 jelű elem F-ben, hogy a * a^-1 = 1.

Általában ki szokták kötni, hogy test legalább két elemet tartalmazzon; ezt jelenleg a 0 ≠ 1 követelmény biztosítja. Tehát egyelemű (és üres) test nincs.

Nem nehéz belátni, hogy nullelem és egységelem pontosan egy van, azonkívül minden elemnek pontosan egy ellentettje és pontosan egy reciproka van.

[szerkesztés] Fontosabb azonosságok testekben

(a*b)^-1 = b^-1 * a^-1 = a^-1 * b^-1

ha a és b nem nulla;

-a = (-1) * a
sőt -(a * b) = (-a) * b = a * (-b)
továbbá a * 0 = 0;

Testben érvényesek az alapműveletekkel kapcsolatban a racionális vagy a valós számok között megszokott azonosságok (például a törtekkel való műveletek elvégzése), de például semmi akadálya nincsen, hogy egy testben fennálljon az 1+1=0 egyenlőség.

[szerkesztés] Karakterisztika

Ha van olyan n természetes szám, hogy a test valamelyik elemét n-szer önmagához adva 0-t kapunk, akkor n-t a test karakterisztikájának nevezzük; gyakori jelölése char F. Ez könnyen láthatóan ugyanaz minden elemre és prímszám. Ha ilyen szám nincs, akkor azt mondjuk hogy a test végtelenkarakterisztikájú vagy azt, hogy nullkarakterisztikájú.

[szerkesztés] Résztest, testbővítés

Ha az elemek egy T' részhalmaza maga is testet alkot az F-beli műveletekkel (ebbe beleértjük, hogy tartalmazza a testbeli 0-t és az 1-et), akkor beszélhetünk a T' elemei alkotta K résztestről; ezt például K ⊂ F-fel jelölhetjük. Gyakran lényeglátóbb az a nézőpont, mikor a nagyobb testet a kisebb bővítésének mondjuk; ennek gyakori jelölése F|K vagy F/K.

Egy F test tetszőleges számú részteste is résztest, így definiálható a T egy A részhalmazának generált részteste. Ez jellemezhető „kívülről”: az összes A-t tartalmazó résztest metszete; s „belülről”: A-ból, a 0-ból és az 1-ből a testműveletekkel megkapható összes F-beli elem által alkotott részhalmaz, ami történetesen résztest.

Test és résztestje karakterisztikája egyenlő. A bővebb F test a K fölött lineáris teret (sőt, algebrát) alkot a testműveletekkel; a testbővítés fokának nevezzük e vektortér dimenzióját.

A résztestek és testbővítések témájával a nevezetes Galois-elmélet foglalkozik.

[szerkesztés] Prímtest

A fentiek alapján bármely testnek van minimális részteste, ezt nevezzük a test prímtestének. Ezt izomorfizmustól eltekintve egyértelműen meghatározza a test karakterisztikája: véges p karakterisztika esetén a prímtest az $F p$ p-elemű véges testtel izomorf, 0 karakterisztika esetén pedig a racionális számok $\mathbb Q$ testével. Tehát $\mathbb Q$ -nál szűkebb végtelen test nincs.

[szerkesztés] Véges testek

Minden véges ferdetest test (Wedderburn tétele).

Könnyen elérhető példát ad a véges testekre a modulo p maradékosztályok rendszere, ahol p prímszám: a szorzás invertálhatóságát kivéve minden testaxióma következik az egész számok és a kongruencia megfelelő tulajdonságából, azt pedig elemi számelmélettel meg lehet mutatni. Ezeket a testeket $F p$ -vel, vagy néha $G F (p)$ -vel jelöljük (Galois Field Évariste Galois tiszteletére). Összetett szám esetén viszont testhez nem, csak gyűrűhöz jutunk ezzel a módszerrel.

A test a prímtestje fölött lineáris tér, ezért véges testnek csak prímhatvány lehet az elemszáma (vagyis olyan q szám, hogy $q = p n$ , ahol p prímszám, n pedig pozitív egész). Ilyen q-k esetén viszont van – izomorfizmustól eltekintve egyetlen – q elemű test; mégpedig az $x q - x$ polinom felbontási teste. E test multiplikatív csoportja ciklikus. A q elemű testet is $F q$ -val, vagy $G F (q)$ -val jelöljük; ezek igen fontos szerepet töltenek be a számítástechnikai alkalmazásokban, különösen a kódelméletben.