Поле (алгебра)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

По́лем называется множество F с двумя бинарными операциями + (аддитивная операция или сложение) и * (мультипликативная операция или умножение), если оно (вместе с этими операциями) образует коммутативное ассоциативное кольцо c единицей, все ненулевые элементы которого обратимы.

Иными словами, множество F с двумя бинарными операциями + (сложение) и * (умножение) называется полем, если оно образует коммутативную группу по сложению, все его ненулевые элементы образуют коммутативную группу по умножению, и выполняется свойство дистрибутивности.

[править] Связанные определения

Характеристика поля — наименьшее положительное целое $n$ число такое, что сумма $n$ копий единицы равна нулю:
$n\cdot 1=0$
Если такого числа не существует то характеристика равна 0 по определению.
Подполем поля $k$ называется подмножество, которое само является полем относительно операций сложения и умножения, заданных в $k$ .

[править] Свойства

Характеристика поля всегда 0 или простое число.
- Поле характеристики 0 содержит $\mathbb Q$ , поле рациональных чисел.
- Поле характеристики p содержит $\Z_p$ , поле вычетов по модулю $p$ .
Количество элементов в конечном поле всегда равно pⁿ, степени простого числа.
- При этом для любого числа вида $p n$ существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из $p n$ элементов, обычно обозначаемое $\mathbb{F}_{p^n}$ .
Любой гомоморфизм полей является вложением.